Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Có a2 ≥ a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) (1)
b2 ≥ b2 - (c – a)2 = (b – c + a)(b + c – a) (2)
c2 ≥ c2 - (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b) (3)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Do a, b ,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1),(2),(3) đều dương.
Nhân vế với vế của (1),(2),(3) ta có:
abc ≥ (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) (*)
Từ a + b + c = 2 nên (*) tương đương
abc ≥ (2 - 2a)(2 - 2b)(2 - 2c)
<=> 8 - 8(a + b +c) + 8(ab + bc + ca) - 9abc ≤ 0
<=> 8 + 9abc -8(ab + bc +ca) ≥ 0
<=> 9abc -8(ab + bc +ca) ≥ -8 (**)
Ta có a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 - 3(a + b + c)(ab + bc + ac) + 3abc
= 8 - 6(ab + bc + ac) + 3abc
Từ đó ta có 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc = 27abc - 24(ab + bc + ac) + 32
= 3[9abc - 8(ab + bc + ac)] + 32 (***)
Áp dụng (**) vào (***) được 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc ≥ 3.(-8) + 32 = 8.
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a = b = c =
Đáp án cần chọn là: C
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
