1. Giải phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 2\sqrt {{x^2} + x + 1} = 0\) 2. Cho

Câu hỏi số 317974:

Vận dụng

1. Giải phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 2\sqrt {{x^2} + x + 1} = 0\)

2. Cho \(x,y\) là các số thực dương.

Chứng minh rằng \(\left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| x \right| + \left| y \right|\)

Đẳng thức trên còn đúng hay không nếu \(x,y\) là các số thực âm? Tại sao?

A. \(1.\,\,S = \left\{ {0;\;1} \right\}.\)

B. \(1.\,\,S = \left\{ {0;\;2} \right\}.\)

C. \(1.\,\,S = \left\{ {1;\;2} \right\}.\)

D. \(1.\,\,S = \left\{ {0;\; - 1} \right\}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:317974

Phương pháp giải

a) Biến đổi phương trình về dạng \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Đưa về phương trình tích để giải tìm \(x\)

b) +) Biến đổi 2 vế của phương trình để cùng bằng một phương trình thứ 3

\(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

+) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = - a\\y = - b\end{array} \right.\,\,\,\,(a,b \ge 0)\). Làm tương tự như trên để trả lời câu hỏi.

Giải chi tiết

1. Giải phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 2\sqrt {{x^2} + x + 1} = 0\)

ĐKXĐ: \({x^2} + x + 1 \ge 0\) luôn đúng

\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 2\sqrt {{x^2} + x + 1} = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + x + 1} = - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\) (1)

Vì \(\sqrt {{x^2} + x + 1} \ge 0\) với mọi x \( \Rightarrow 2\sqrt {{x^2} + x + 1} \ge 0\) với mọi x

\( \Rightarrow - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 1\) (*)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;4\left( {{x^2} + x + 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 4 = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 4 = {x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} - 2{x^3} - 8{x^2} - 8x + {x^2} + 4x + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} - 7{x^2} - 8x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^3} + 2{x^2} - 7x - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\\{x^2} + x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp (*) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;\;1} \right\}.\)

2. Cho x, y là các số thực dương.

Chứng minh rằng \(\left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| x \right| + \left| y \right|\)

Đẳng thức trên còn đúng hay không nếu x, y là các số thực âm? Tại sao?

+) Ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| {\frac{{x + y - 2\sqrt {xy} }}{2}} \right| + \left| {\frac{{x + y + 2\sqrt {xy} }}{2}} \right|\\ = \left| {\frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{2}} \right| + \left| {\frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{2}} \right|\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{2}\;\;\left( {do\;\;{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2} \ge 0,\;\;{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} \ge 0\;\;\forall x,\;y > 0} \right)\\ = \frac{{x + y - 2\sqrt {xy} + x + y + 2\sqrt {xy} }}{2} = x + y.\end{array}\)

Mặt khác do \(x,\;y > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = x\\\left| y \right| = y\end{array} \right. \Rightarrow VP = \left| x \right| + \left| y \right| = x + y.\)

\( \Rightarrow VT = VP \Rightarrow \) đpcm

+) Đẳng thức trên đúng nếu \(x,y\) là các số thực âm

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = - a\\y = - b\end{array} \right.\,\,\,\,(a,b \ge 0)\). Ta có:

\(VT = \left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| {\frac{{ - a - b}}{2} - \sqrt {ab} } \right| + \left| {\frac{{ - a - b}}{2} + \sqrt {ab} } \right| = \left| {\frac{{ - a - b - 2\sqrt {ab} }}{2}} \right| + \left| {\frac{{ - a - b + 2\sqrt {ab} }}{2}} \right|\)

\( = \left| {\frac{{ - \left( {a + b + 2\sqrt {ab} } \right)}}{2}} \right| + \left| {\frac{{ - \left( {a + b - 2\sqrt {ab} } \right)}}{2}} \right| = \left| {\frac{{ - {{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}}}{2}} \right| + \left| {\frac{{ - {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}}{2}} \right|\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}}{2}\) (do \( - {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} \le 0\) và \( - {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \le 0\) với mọi \(a,b > 0\))

\( = \frac{{a + b + 2\sqrt {ab} + a + b - 2\sqrt {ab} }}{2} = a + b\)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a < 0\\ - b < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| { - a} \right| = a\\\left| { - b} \right| = b\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow VP = \left| x \right| + \left| y \right| = \left| { - a} \right| + \left| { - b} \right| = a + b = VT\)

Vậy đẳng thức trên đúng nếu \(x,y\) là các số thực âm.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link