1. Giả sử \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \({n^2} + n + 3\) là số nguyên tố.

Câu hỏi số 317975:

Vận dụng

1. Giả sử \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \({n^2} + n + 3\) là số nguyên tố. Chứng minh rằng \(n\) chia 3 dư 1 và \(7{n^2} + 6n + 2017\) không phải số chính phương

2. Tìm tất cả các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn phương trình: \(2{x^2} + 4{y^2} - 4xy + 2x + 1 = 2017\)

A. \(2.\,\,\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {8; - 18} \right),\left( {8;26} \right),\left( { - 10; - 27} \right),\left( { - 10;17} \right),\left( {43;17} \right),\left( {43;26} \right),\left( { - 45; - 27} \right),\left( { - 45; - 18} \right)} \right\}.\)

B. \(2.\,\,\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {8; - 18} \right),\left( { - 8; - 26} \right),\left( { - 10; - 27} \right),\left( { - 10;17} \right),\left( {43;17} \right),\left( {43;26} \right),\left( {45;27} \right),\left( { - 45; - 18} \right)} \right\}.\)

C. \(2.\,\,\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {8; - 18} \right),\left( {8;26} \right),\left( { - 10; - 27} \right),\left( { - 10;17} \right),\left( {43;17} \right),\left( {43;26} \right),\left( {45;27} \right),\left( {45;18} \right)} \right\}.\)

D. \(2.\,\,\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {8; - 18} \right),\left( { - 8; - 26} \right),\left( { - 10; - 27} \right),\left( { - 10;17} \right),\left( {43;17} \right),\left( {43;26} \right),\left( { - 45; - 27} \right),\left( {45;18} \right)} \right\}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:317975

Phương pháp giải

1. Chứng minh \(n\) chia 3 dư 1 bằng phản chứng. Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2.

2. Biến đổi phương trình để được phương trình mới có hai vế là tổng các bình phương. Từ đó chia trường hợp để tìm tất cả các giá trị của \(x,y.\)

Giải chi tiết

1. Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \({n^2} + n + 3\) là số nguyên tố. Chứng minh rằng n chia 3 dư 1 và \(7{n^2} + 6n + 2017\) không phải số chính phương.

Vì \(n\) là số nguyên dương \( \Rightarrow {n^2} + n + 3 > 3\)

Mà \({n^2} + n + 3\) là số nguyên tố \( \Rightarrow {n^2} + n + 3\) không chia hết cho 3

Giả sử \(n \vdots 3 \Rightarrow {n^2} \vdots 3 \Rightarrow \left( {{n^2} + n + 3} \right) \vdots 3\) vô lý

\( \Rightarrow n\) không chia hết cho 3

Với \(n \equiv 2\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {n^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {{n^2} + n} \right)\; \vdots \;3 \Rightarrow \left( {{n^2} + n + 3} \right)\; \vdots \;3\) vô lý

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\;\;\;\left( 1 \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{n^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\\6n \vdots 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7{n^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\\6n \vdots 3\end{array} \right. \Rightarrow 7{n^2} + 6n + 2017 \equiv 2\left( {\bmod 3} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow 7{n^2} + 6n + 2017\) không là số chính phương (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow 7{n^2} + 6n + 2017\) không phải là số chính phương khi \(n:3\) dư \(1.\)

2. Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình: \(2{x^2} + 4{y^2} - 4xy + 2x + 1 = 2017\)

Ta có: \(2{x^2} + 4{y^2} - 4xy + 2x + 1 = 2017\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 81 + 1936\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {9^2} + {44^2}\\TH1:\;\;\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} = {9^2}\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {44^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x + 1 = 9\\x + 1 = - 9\end{array} \right.\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {44^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = - 10\end{array} \right.\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {44^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\{\left( {8 - 2y} \right)^2} = {44^2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 10\\{\left( { - 10 - 2y} \right)^2} = {44^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\\left[ \begin{array}{l}8 - 2y = 44\\8 - 2y = - 44\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 10\\\left[ \begin{array}{l} - 10 - 2y = 44\\ - 10 - 2y = - 44\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\\left[ \begin{array}{l}y = - 18\\y = 26\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 10\\\left[ \begin{array}{l}y = - 27\\y = 17\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x,y} \right) = \left( {8; - 18} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( {8;26} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( { - 10; - 27} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( { - 10;17} \right)\end{array} \right.\\TH2:\;\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} = {44^2}\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {9^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x + 1 = 44\\x + 1 = - 44\end{array} \right.\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {9^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 43\\x = - 45\end{array} \right.\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {9^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 43\\{\left( {43 - 2y} \right)^2} = {9^2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 45\\{\left( { - 45 - 2y} \right)^2} = {9^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 43\\\left[ \begin{array}{l}43 - 2y = 9\\43 - 2y = - 9\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 45\\\left[ \begin{array}{l} - 45 - 2y = 9\\ - 45 - 2y = - 9\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 43\\\left[ \begin{array}{l}y = 17\\y = 26\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 45\\\left[ \begin{array}{l}y = - 27\\y = - 18\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x,y} \right) = \left( {43;17} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( {43;26} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( { - 45; - 27} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( { - 45; - 18} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

\(\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {8; - 18} \right),\left( {8;26} \right),\left( { - 10; - 27} \right),\left( { - 10;17} \right),\left( {43;17} \right),\left( {43;26} \right),\left( { - 45; - 27} \right),\left( { - 45; - 18} \right)} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link