Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;4} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right)

Câu hỏi số 318274:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;4} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = \dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\ln x}}{x}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(I = 2{\ln ^2}2\).

B. \(I = 2\ln 2\)

C. \(I = 3 + 2{\ln ^2}2\).

D. \(I = {\ln ^2}2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318274

Phương pháp giải

Tích phân hai vế của \(f\left( x \right) = \dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\ln x}}{x}\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\ln x}}{x} \Rightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^4 {\left( {\dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\ln x}}{x}} \right)} dx\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }}} dx + \int\limits_1^4 {\dfrac{{\ln x}}{x}} dx\end{array}\)

Tính \({I_1} = \int\limits_1^4 {\dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }}} dx = \int\limits_1^4 {f\left( {2\sqrt x - 1} \right)\,} d\left( {2\sqrt x - 1} \right) = \int\limits_1^3 {f\left( t \right)\,} dt = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)\,} dx\)

Tính \({I_2} = \int\limits_1^4 {\dfrac{{\ln x}}{x}} dx = \int\limits_1^4 {\ln x} d\left( {\ln x} \right) = \left. {\dfrac{{{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{2}} \right|_1^4 = \dfrac{{{{\left( {\ln 4} \right)}^2}}}{2} = 2{\ln ^2}2\)\( \Rightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx + 2{\ln ^2}2\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = 2{\ln ^2}2 \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_3^1 {f\left( x \right)} dx = 2{\ln ^2}2 \Leftrightarrow \int\limits_3^4 {f\left( x \right)} dx = 2{\ln ^2}2\)

Vậy \(I=\int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)dx}\)\( = 2{\ln ^2}2\).

Chọn: A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.