Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;4} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = \dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\ln x}}{x}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} \).
Câu 318274: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;4} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = \dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\ln x}}{x}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} \).
A. \(I = 2{\ln ^2}2\).
B. \(I = 2\ln 2\)
C. \(I = 3 + 2{\ln ^2}2\).
D. \(I = {\ln ^2}2\)
Quảng cáo
Tích phân hai vế của \(f\left( x \right) = \dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\ln x}}{x}\).
-
Đáp án : A(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\ln x}}{x} \Rightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^4 {\left( {\dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\ln x}}{x}} \right)} dx\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }}} dx + \int\limits_1^4 {\dfrac{{\ln x}}{x}} dx\end{array}\)
Tính \({I_1} = \int\limits_1^4 {\dfrac{{f\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x }}} dx = \int\limits_1^4 {f\left( {2\sqrt x - 1} \right)\,} d\left( {2\sqrt x - 1} \right) = \int\limits_1^3 {f\left( t \right)\,} dt = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)\,} dx\)
Tính \({I_2} = \int\limits_1^4 {\dfrac{{\ln x}}{x}} dx = \int\limits_1^4 {\ln x} d\left( {\ln x} \right) = \left. {\dfrac{{{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{2}} \right|_1^4 = \dfrac{{{{\left( {\ln 4} \right)}^2}}}{2} = 2{\ln ^2}2\)\( \Rightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx + 2{\ln ^2}2\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = 2{\ln ^2}2 \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_3^1 {f\left( x \right)} dx = 2{\ln ^2}2 \Leftrightarrow \int\limits_3^4 {f\left( x \right)} dx = 2{\ln ^2}2\)
Vậy \(I=\int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)dx}\)\( = 2{\ln ^2}2\).
Chọn: A
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
