Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0\). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 4y - 4z + 5 = 0\) cắt mặt phẳng (P) tại B. Điểm M nằm trong mặt phẳng (P) luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông và độ dài MB lớn nhất. Tính độ dài MB.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+ Xác định tọa độ điểm B
+ Do M nằm trong mặt phẳng (P) luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên M di chuyển trên đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu đường kính AB và (P)
+ Độ dài MB lớn nhất khi và chỉ khi MB là đường kính của đường tròn (C).
Đường thẳng \(\Delta \)đi qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 4y - 4z + 5 = 0\) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = - 3 - 4t\end{array} \right.\)
Giả sử \(B\left( {1 + 3t;2 + 4t; - 3 - 4t} \right)\), do \(B \in \left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0 \Rightarrow 2.\left( {1 + 3t} \right) + 2.\left( {2 + 4t} \right) - \left( { - 3 - 4t} \right) + 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow 18t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)\( \Rightarrow B\left( { - 2; - 2;1} \right)\)
Do M nằm trong mặt phẳng (P) luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên M di chuyển trên đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu đường kính AB và (P).
Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{1}{2};0; - 1} \right)\), \(IB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\)
Khi đó, tâm O của đường tròn giao tuyến (C) là hình chiếu vuông góc của I lên (P)
Có: \(OI = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\dfrac{{ - 1}}{2} + 2.0 - \left( { - 1} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3\)
Độ dài MB lớn nhất khi và chỉ khi MB là đường kính của đường tròn (C) \( \Leftrightarrow O\) là trung điểm của MB
\( \Rightarrow MB = 2.OB = 2\sqrt {I{B^2} - O{I^2}} = 2\sqrt {\dfrac{{41}}{4} - 9} = \sqrt 5 \).
Chọn: A
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
