Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P

Câu hỏi số 318275:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0\). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 4y - 4z + 5 = 0\) cắt mặt phẳng (P) tại B. Điểm M nằm trong mặt phẳng (P) luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông và độ dài MB lớn nhất. Tính độ dài MB.

A. \(MB = \sqrt 5 \).

B. \(MB = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).

C. \(MB = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\).

D. \(MB = \sqrt {41} \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318275

Phương pháp giải

+ Xác định tọa độ điểm B

+ Do M nằm trong mặt phẳng (P) luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên M di chuyển trên đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu đường kính AB và (P)

+ Độ dài MB lớn nhất khi và chỉ khi MB là đường kính của đường tròn (C).

Giải chi tiết

Đường thẳng \(\Delta \)đi qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 4y - 4z + 5 = 0\) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = - 3 - 4t\end{array} \right.\)

Giả sử \(B\left( {1 + 3t;2 + 4t; - 3 - 4t} \right)\), do \(B \in \left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0 \Rightarrow 2.\left( {1 + 3t} \right) + 2.\left( {2 + 4t} \right) - \left( { - 3 - 4t} \right) + 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow 18t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)\( \Rightarrow B\left( { - 2; - 2;1} \right)\)

Do M nằm trong mặt phẳng (P) luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên M di chuyển trên đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu đường kính AB và (P).

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{1}{2};0; - 1} \right)\), \(IB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\)

Khi đó, tâm O của đường tròn giao tuyến (C) là hình chiếu vuông góc của I lên (P)

Có: \(OI = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\dfrac{{ - 1}}{2} + 2.0 - \left( { - 1} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3\)

Độ dài MB lớn nhất khi và chỉ khi MB là đường kính của đường tròn (C) \( \Leftrightarrow O\) là trung điểm của MB

\( \Rightarrow MB = 2.OB = 2\sqrt {I{B^2} - O{I^2}} = 2\sqrt {\dfrac{{41}}{4} - 9} = \sqrt 5 \).

Chọn: A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.