Cho \(\Delta ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính

Câu hỏi số 320397:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính BC, điểm D thuộc bán kính OC. Đường vuông góc với OC tại D cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F.

a) Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \(\angle CAD = \angle CFD\)

c) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

d) Cho \(AB = 6cm,\,\,\angle ACB = {30^o}.\) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:320397

Phương pháp giải

a) Chứng minh ABDE là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)

b) Chứng minh \(ADCF\) là tứ giác nội tiếp để suy ra \(\angle CAD = \angle CFD\)

c) Chứng minh \(MA \bot OA\) bằng cách tính \(\angle OAM = {90^o}\)

d) Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt \(S = \frac{{\pi .{r^2}.{n^o}}}{{{{360}^o}}}\)

Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt trừ đi diện tích hình tam giác.

Giải chi tiết

a) Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(\Delta ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính BC

\( \Rightarrow \angle BAC = \angle BAE = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Lại có : \(DE \bot BC\) tại D \( \Rightarrow \angle BDE = {90^o}\)

Tứ giác ABDE có: \(\angle BAE + \angle BDE = {180^o}\)

\( \Rightarrow \) ABDE là tứ giác nội tiếp. (dhnb).

b) Chứng minh rằng \(\angle CAD = \angle CFD\)

Ta có \(\angle AFD + \angle ABO = {90^o}\) (\(\Delta BFD\) vuông tại D )

\(\angle ACD + \angle ABO = {90^o}\) (\(\Delta BAC\) vuông tại A )

\( \Rightarrow \angle AFD = \angle ACD\) (cùng phụ \(\angle ABO\))

\( \Rightarrow ADCF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \angle CAD = \angle CFD\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

c) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có \(OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O \( \Rightarrow \angle OAB = \angle OBA\) (1)

Ta có M là trung điểm của EF, \(\Delta EAF\) vuông tại A

\( \Rightarrow MA = ME = MF\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \Delta MAF\) cân tại M \( \Rightarrow \angle MAF = \angle MFA\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle MAF + \angle OAB = \angle MFA + \angle OBA = {90^o}\) (\(\Delta BFD\) vuông tại D)

\( \Rightarrow \angle OAM = {180^o} - \left( {\angle MAF + \angle OAB} \right) = {90^o} \Rightarrow MA \bot OA\)

Kết hợp \(A \in \left( O \right) \Rightarrow \) AM là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\). (đpcm)

d) Cho \(AB = 6cm,\,\,\angle ACB = {30^o}.\) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB .

Ta có: \(\angle ACB = {30^o} \Rightarrow \angle AOB = {60^o}\) (góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))

Mà \(\Delta OAB\) cân tại O \( \Rightarrow \Delta OAB\) đều

\( \Rightarrow OA = OB = AB = 6cm\)

Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle AOB = {60^o} \Rightarrow \,\,sd\,\,cung\,\,AB = \angle AOB = {60^o}\)

Diện tích hình quạt OAB là: \({S_1} = \frac{{\pi .{r^2}.{n^o}}}{{{{360}^o}}} = \frac{{\pi {{.6}^2}{{.60}^o}}}{{{{360}^o}}} = 6\pi \,\,(c{m^2})\)

Diện tích tam giác OAB là: \({S_2} = \frac{{O{A^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 \,\,(c{m^2})\)

\( \Rightarrow \) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB là: \(S = {S_1} - {S_2} = 6\pi - 9\sqrt 3 \,\,(c{m^2})\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link