Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2019\). Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} +

Câu hỏi số 320398:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2019\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \)

A. \({S_{\min }} = 2017\)

B. \({S_{\min }} = 2018\)

C. \({S_{\min }} = 2019\)

D. \({S_{\min }} = 2020\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:320398

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh \(\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} \ge \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\) và kết hợp dữ kiện đề bài để tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Giải chi tiết

Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2019\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và b ta được :

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow 3{a^2} + 3{b^2} \ge 6ab \Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab + 4{b^2} \ge {a^2} + 2ab + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge \frac{1}{4}\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) = \frac{1}{4}{\left( {a + b} \right)^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Do \(a,b > 0\) nên : \({a^2} + {b^2} - ab \ge 2ab - ab = ab > 0\)

\( \Rightarrow \,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} \ge \frac{1}{2}\left| {a + b} \right| = \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\)

Tương tự ta cũng chứng minh được : \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} \ge \frac{1}{2}\left( {b + c} \right)\\\sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \ge \frac{1}{2}\left( {c + a} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \ge \frac{1}{2}\left( {a + b} \right) + \frac{1}{2}\left( {b + c} \right) + \frac{1}{2}\left( {c + a} \right) = a + b + c = 2019\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 2019\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 673\)

Vậy \({S_{\min }} = 2019\) đạt được khi \(a = b = c = 673\).

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link