Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{xdx}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}} = a + b\ln 2 + c\ln 3\) với \(a,b,c\) là

Câu hỏi số 322457:

Thông hiểu

Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{xdx}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}} = a + b\ln 2 + c\ln 3\) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(a + b + c\) bằng:

A. \(\dfrac{5}{{12}}\)

B. \(\dfrac{1}{{12}}\).

C. \( - \dfrac{1}{3}\)

D. \(\dfrac{1}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:322457

Phương pháp giải

Đưa tích phân về các dạng: \(\int\limits_a^b {\dfrac{{dx}}{{{x^n}}}} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\int\limits_0^1 {\dfrac{{xdx}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {2x + 1} \right) - \dfrac{1}{2}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{2x + 1}}dx} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}dx} \)

\( = \left. {\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\ln \left| {2x + 1} \right| - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\left( { - 1} \right).\dfrac{1}{{2x + 1}}} \right)} \right|_0^1\)

\( = \left. {\left( {\dfrac{1}{4}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{{2x + 1}}} \right)} \right|_0^1\)\( = \dfrac{1}{4}\ln 3 - \dfrac{1}{6}\)

\( \Rightarrow a = - \dfrac{1}{6};b = 0,\,\,c = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \)\(a + b + c = \dfrac{1}{{12}}\).

Chú ý khi giải

Chú ý: Chú ý khi sử dụng các nguyên hàm mở rộng.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.