Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn \(4 + {9.3^{{x^2} - 2y}} = \left( {4 + {9^{{x^2} - 2y}}} \right){.7^{2y - {x^2} + 2}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2y + 18}}{x}\) bằng
Câu 322467: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn \(4 + {9.3^{{x^2} - 2y}} = \left( {4 + {9^{{x^2} - 2y}}} \right){.7^{2y - {x^2} + 2}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2y + 18}}{x}\) bằng
A. 9.
B. \(\dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{2}\).
C. \(1 + 9\sqrt 2 \)
D. 17.
Quảng cáo
-
Đáp án : A(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = {x^2} - 2y\). Phương trình đã cho trở thành: \(4 + {9.3^t} = \left( {4 + {9^t}} \right){.49.7^{ - t}} \Leftrightarrow {4.7^t} + {9.3^t}{.7^t} - 49.4 - {49.9^t} = 0\)
\( \Leftrightarrow 4.\left( {{7^t} - 49} \right) + {3^t}\left( {{{9.7}^t} - {{49.3}^t}} \right) = 0\) (1)
Nhận xét:
+) \(t = 2\) là nghiệm của (1)
+) \(t > 2 \Rightarrow \)\({7^t} - 49 > 0\) và \({9.7^t} - {49.3^t} > 0\) (do \(\dfrac{{{{9.7}^t}}}{{{{49.3}^t}}} = {\left( {\dfrac{7}{3}} \right)^{t - 2}} > 1\))\( \Rightarrow VT > 0\): Phương trình vô nghiệm
+) \(t < 2 \Rightarrow \)\({7^t} - 49 < 0\) và \({9.7^t} - {49.3^t} < 0\) (do \(\dfrac{{{{9.7}^t}}}{{{{49.3}^t}}} = {\left( {\dfrac{7}{3}} \right)^{t - 2}} < 1\))\( \Rightarrow VT < 0\): Phương trình vô nghiệm
Vậy, (1) có nghiệm duy nhất là \(t = 2\)\( \Rightarrow {x^2} - 2y = 2 \Leftrightarrow 2y = {x^2} - 2\)
Khi đó, \(P = \dfrac{{x + 2y + 18}}{x} = \dfrac{{x + {x^2} - 2 + 18}}{x} = x + \dfrac{{16}}{x} + 1 \ge 2\sqrt {x.\dfrac{{16}}{x}} + 1 = 9,\,\,\left( {x > 0} \right)\)
\( \Rightarrow MinP = 9\) khi và chỉ khi \(x = 4,\,\,y = 7\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
