Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn \(4 + {9.3^{{x^2} - 2y}} = \left( {4 + {9^{{x^2} - 2y}}}

Câu hỏi số 322467:

Vận dụng cao

Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn \(4 + {9.3^{{x^2} - 2y}} = \left( {4 + {9^{{x^2} - 2y}}} \right){.7^{2y - {x^2} + 2}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2y + 18}}{x}\) bằng

A. 9.

B. \(\dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{2}\).

C. \(1 + 9\sqrt 2 \)

D. 17.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:322467

Giải chi tiết

Đặt \(t = {x^2} - 2y\). Phương trình đã cho trở thành: \(4 + {9.3^t} = \left( {4 + {9^t}} \right){.49.7^{ - t}} \Leftrightarrow {4.7^t} + {9.3^t}{.7^t} - 49.4 - {49.9^t} = 0\)

\( \Leftrightarrow 4.\left( {{7^t} - 49} \right) + {3^t}\left( {{{9.7}^t} - {{49.3}^t}} \right) = 0\) (1)

Nhận xét:

+) \(t = 2\) là nghiệm của (1)

+) \(t > 2 \Rightarrow \)\({7^t} - 49 > 0\) và \({9.7^t} - {49.3^t} > 0\) (do \(\dfrac{{{{9.7}^t}}}{{{{49.3}^t}}} = {\left( {\dfrac{7}{3}} \right)^{t - 2}} > 1\))\( \Rightarrow VT > 0\): Phương trình vô nghiệm

+) \(t < 2 \Rightarrow \)\({7^t} - 49 < 0\) và \({9.7^t} - {49.3^t} < 0\) (do \(\dfrac{{{{9.7}^t}}}{{{{49.3}^t}}} = {\left( {\dfrac{7}{3}} \right)^{t - 2}} < 1\))\( \Rightarrow VT < 0\): Phương trình vô nghiệm

Vậy, (1) có nghiệm duy nhất là \(t = 2\)\( \Rightarrow {x^2} - 2y = 2 \Leftrightarrow 2y = {x^2} - 2\)

Khi đó, \(P = \dfrac{{x + 2y + 18}}{x} = \dfrac{{x + {x^2} - 2 + 18}}{x} = x + \dfrac{{16}}{x} + 1 \ge 2\sqrt {x.\dfrac{{16}}{x}} + 1 = 9,\,\,\left( {x > 0} \right)\)

\( \Rightarrow MinP = 9\) khi và chỉ khi \(x = 4,\,\,y = 7\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.