Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng\(\left( P \right):2x + 2y - z + 4 = 0\) và các điểm \(A\left( {2;1;2}
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng\(\left( P \right):2x + 2y - z + 4 = 0\) và các điểm \(A\left( {2;1;2} \right),\,B\left( {3; - 2;2} \right)\). Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho các đường thẳng MA, MB luôn tạo với mặt phẳng (P) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm M luôn thuộc đường tròn (C) cố định. Tìm tọa độ tâm của đường tròn (C).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P) \( \Rightarrow \widehat {AMH} = \widehat {BMK}\)
Ta có: \(AH = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {4 + 2 - 2 + 4} \right|}}{3} = \dfrac{8}{3};\,\,\,BK = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {6 - 4 - 2 + 4} \right|}}{3} = \dfrac{4}{3}\,\)\( \Rightarrow AH = 2.BK\)
\( \Rightarrow HM = 2.MK\) (do \(\Delta AHM\) đồng dạng với \(\Delta BKM\) (g.g))
Lấy I đối xứng H qua K; E thuộc đoạn HK sao cho \(HE = 2KE\); F thuộc đoạn KI sao cho \(FI = 2KF\).
Khi đó: A, B, I, H, E, K, F đều là các điểm cố định.
* Ta chứng minh : M di chuyển trên đường tròn tâm F, đường kính IE:
Gọi N là điểm đối xứng của M qua K \( \Rightarrow \Delta HMN\) cân tại M
\(E\) nằm trên trung tuyến HK và \(HE = \dfrac{2}{3}HK \Rightarrow E\) là trọng tâm \(\Delta HMN \Rightarrow ME \bot HN\)
Mà \(HN//MI \Rightarrow ME \bot MI\)
Dễ dàng chứng minh F là trung điểm của EI
\( \Rightarrow M\) di chuyển trên đường tròn tâm F đường kính EI (thuộc mặt phẳng (P))
* Tìm tọa độ điểm F:
Phương trình đường cao AH là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)
Giả sử \(H\left( {2 + 2{t_1};1 + 2{t_1};2 - {t_1}} \right)\). \(H \in \left( P \right) \Rightarrow \)\(2\left( {2 + 2{t_1}} \right) + 2\left( {1 + 2{t_1}} \right) - \left( {2 - {t_1}} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {t_1} = - \dfrac{8}{9}\)
\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{2}{9}; - \dfrac{7}{9};\dfrac{{26}}{9}} \right)\)
Phương trình đường cao BK là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 2 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)
Giả sử \(K\left( {3 + 2{t_2}; - 2 + 2{t_2};2 - {t_2}} \right)\).
\(K \in \left( P \right) \Rightarrow \)\(2\left( {3 + 2{t_2}} \right) + 2\left( { - 2 + 2{t_2}} \right) - \left( {2 - {t_2}} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {t_2} = - \dfrac{4}{9}\)\( \Rightarrow K\left( {\dfrac{{19}}{9};\dfrac{{ - 26}}{9};\dfrac{{22}}{9}} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {HF} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow {HK} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_F} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{17}}{9}\\{y_F} + \dfrac{7}{9} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{ - 19}}{9}\\{z_F} - \dfrac{{26}}{9} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{ - 4}}{9}\end{array} \right. \Rightarrow F\left( {\dfrac{{74}}{{27}};\dfrac{{ - 97}}{{27}};\dfrac{{62}}{{27}}} \right)\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
