Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng\(\left( P \right):2x + 2y - z + 4 = 0\) và các điểm \(A\left( {2;1;2} \right),\,B\left( {3; - 2;2} \right)\). Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho các đường thẳng MA, MB luôn tạo với mặt phẳng (P) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm M luôn thuộc đường tròn (C) cố định. Tìm tọa độ tâm của đường tròn (C).

Câu 322471: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng\(\left( P \right):2x + 2y - z + 4 = 0\) và các điểm \(A\left( {2;1;2} \right),\,B\left( {3; - 2;2} \right)\). Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho các đường thẳng MA, MB luôn tạo với mặt phẳng (P) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm M luôn thuộc đường tròn (C) cố định. Tìm tọa độ tâm của đường tròn (C).

A. \(\left( {\dfrac{{74}}{{27}}; - \dfrac{{97}}{{27}};\dfrac{{62}}{{27}}} \right)\).

B. \(\left( {\dfrac{{32}}{9}; - \dfrac{{49}}{9};\dfrac{2}{9}} \right)\).

C. \(\left( {\dfrac{{10}}{3}; - 3;\dfrac{{14}}{3}} \right)\).

D. \(\left( {\dfrac{{17}}{{21}}; - \dfrac{{17}}{{21}};\dfrac{{17}}{{21}}} \right)\).

Câu hỏi : 322471

Quảng cáo

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P) \( \Rightarrow \widehat {AMH} = \widehat {BMK}\)

Ta có: \(AH = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {4 + 2 - 2 + 4} \right|}}{3} = \dfrac{8}{3};\,\,\,BK = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {6 - 4 - 2 + 4} \right|}}{3} = \dfrac{4}{3}\,\)\( \Rightarrow AH = 2.BK\)

\( \Rightarrow HM = 2.MK\) (do \(\Delta AHM\) đồng dạng với \(\Delta BKM\) (g.g))

Lấy I đối xứng H qua K; E thuộc đoạn HK sao cho \(HE = 2KE\); F thuộc đoạn KI sao cho \(FI = 2KF\).

Khi đó: A, B, I, H, E, K, F đều là các điểm cố định.

* Ta chứng minh : M di chuyển trên đường tròn tâm F, đường kính IE:

Gọi N là điểm đối xứng của M qua K \( \Rightarrow \Delta HMN\) cân tại M

\(E\) nằm trên trung tuyến HK và \(HE = \dfrac{2}{3}HK \Rightarrow E\) là trọng tâm \(\Delta HMN \Rightarrow ME \bot HN\)

Mà \(HN//MI \Rightarrow ME \bot MI\)

Dễ dàng chứng minh F là trung điểm của EI

\( \Rightarrow M\) di chuyển trên đường tròn tâm F đường kính EI (thuộc mặt phẳng (P))

* Tìm tọa độ điểm F:

Phương trình đường cao AH là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)

Giả sử \(H\left( {2 + 2{t_1};1 + 2{t_1};2 - {t_1}} \right)\). \(H \in \left( P \right) \Rightarrow \)\(2\left( {2 + 2{t_1}} \right) + 2\left( {1 + 2{t_1}} \right) - \left( {2 - {t_1}} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {t_1} = - \dfrac{8}{9}\)

\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{2}{9}; - \dfrac{7}{9};\dfrac{{26}}{9}} \right)\)

Phương trình đường cao BK là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 2 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)

Giả sử \(K\left( {3 + 2{t_2}; - 2 + 2{t_2};2 - {t_2}} \right)\).

\(K \in \left( P \right) \Rightarrow \)\(2\left( {3 + 2{t_2}} \right) + 2\left( { - 2 + 2{t_2}} \right) - \left( {2 - {t_2}} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {t_2} = - \dfrac{4}{9}\)\( \Rightarrow K\left( {\dfrac{{19}}{9};\dfrac{{ - 26}}{9};\dfrac{{22}}{9}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {HF} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow {HK} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_F} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{17}}{9}\\{y_F} + \dfrac{7}{9} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{ - 19}}{9}\\{z_F} - \dfrac{{26}}{9} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{ - 4}}{9}\end{array} \right. \Rightarrow F\left( {\dfrac{{74}}{{27}};\dfrac{{ - 97}}{{27}};\dfrac{{62}}{{27}}} \right)\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.