Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(H\left( {1;\,2; - 2} \right).\) Mặt phẳng \(\left(

Câu hỏi số 322533:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(H\left( {1;\,2; - 2} \right).\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(H\) và cắt các trục \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,\,B,\,C\) sao cho \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC.\) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC.\)

A. \(\frac{{81\pi }}{2}\)

B. \(\frac{{243\pi }}{2}\)

C. \(81\pi \)

D. \(243\pi \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:322533

Phương pháp giải

Gọi tọa độ các điểm A, B, C.

Lập phương trình mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz bằng phương trình đoạn chắn.

Từ đó tìm được các điểm A, B, C. Từ đó tính được bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính \(R:\,\,S = 4\pi {R^2}.\)

Giải chi tiết

Cách giải:

Gọi \(A\left( {a;\,\,0;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,b;\,0} \right),\,\,C\left( {0;\,0;\,c} \right)\) lần lượt thuộc các trục tọa độ \(Ox,\,Oy,\,Oz.\)

Khi đó ta có phương trình \(\left( \alpha \right)\) đi qua các điểm \(A,\,\,B,\,\,C:\,\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.\)

\(H \in \left( \alpha \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Theo đề bài ta có \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right..\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {1 - a;\,\,2; - 2} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;\,\,c} \right)\\\overrightarrow {BH} = \left( {1;\,2 - b; - 2} \right),\,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - a;\,0;\,c} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b - 2c = 0\\ - a - 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2c\\b = - c\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{ - 2c}} + \frac{2}{{ - c}} - \frac{2}{c} = 1 \Rightarrow - \frac{9}{{2c}} = 1 \Leftrightarrow c = - \frac{9}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2c = 9\\b = - c = \frac{9}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {9;\,\,0;\,\,0} \right)\\B\left( {0;\,\frac{9}{2};\,0} \right)\\C\left( {0;\,0; - \frac{9}{2}} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Gọi \(I\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác \(OABC.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.