Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC. Lấy M là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Qua M kẻ

Câu hỏi số 323126:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC. Lấy M là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt đoạn thẳng AB tại điểm I, cắt đường thẳng AC tại điểm D.

a) Chứng minh: \(\Delta ABC\) đồng dạng \(\Delta MDC\).

b) Chứng minh rằng: BI.BA = BM.BC.

c) Chứng minh: \(\angle BAM = \angle ICB\). Từ đó chứng minh AB là phân giác của \(\angle MAK\) với K là giao điểm của CI và BD.

d) Cho AB = 8cm, AC = 6cm. Khi AM là đường phân giác trong tam giác ABC, hãy tính diện tích tứ giác AMBD.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:323126

Phương pháp giải

a) Chứng minh 2 tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh cặp tam giác ABC và MBI đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc. Từ đó suy ra tỉ lệ thức phù hợp, biến đổi tỉ lệ thức được điều phải chứng minh.

c) Chứng minh tam giác BMA và BIC đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh, suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau. Từ đó tìm các cặp tam giác đồng dạng phù hợp để chứng minh AB là phân giác \(\angle MAK\).

d) Tính diện tích tam giác CBD và tam giác CMA, từ đó tính diện tích tứ giác AMBD.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle CM{\rm{D = 9}}{{\rm{0}}^0}\) (theo giả thiết \(M{\rm{D}} \bot BC\))

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta M{\rm{D}}C\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle C\,\,\,chung\\\angle CAB = \angle CM{\rm{D}} = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta M{\rm{D}}C\;\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Ta có: \(\angle BMI = {90^0}\) (theo giả thiết \(M{\rm{D}} \bot BC\))

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta MBI\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle B\,\;chung\\\angle BAC = \angle BMI = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta MBI\;(g - g)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{MB}} = \frac{{BC}}{{BI}}\\ \Leftrightarrow BI.AB = MB.BC \Leftrightarrow BI.BA = BM.BC\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

c) Ta có: \(\frac{{AB}}{{MB}} = \frac{{BC}}{{BI}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{MB}}{{BI}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{BM}}{{BI}} = \frac{{BA}}{{BC}}\)

Xét \(\Delta BMA\) và \(\Delta BIC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{BM}}{{BI}} = \frac{{BA}}{{BC}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle B\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta BMA \sim \Delta BIC\;(c - g - c)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle BAM = \angle BCI \Leftrightarrow \angle BAM = \angle ICB\) (các góc tương ứng) (đpcm) (1)

Xét \(\Delta BCD\) có \(AB,\,\,DM\) là các đường cao.

\( \Rightarrow \) Giao điểm \(I\) của 2 đường cao \(AB,\,\,DM\) là trực tâm của \(\Delta BCD.\)

\( \Rightarrow CI\) là đường cao của \(\Delta BCD.\)

\( \Rightarrow \angle IKB = {90^0}\)

Xét \(\Delta CAI\) và \(\Delta BKI\) ta có:

\(\angle IAC = \angle IKB = {90^0}\)

\(\angle AIC = \angle KIB\) (hai góc đối đỉnh)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta CAI \sim \Delta BKI\;\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{IA}}{{IK}} = \frac{{IC}}{{IB}} \Rightarrow \frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{IK}}{{IB}}.\end{array}\)

Xét \(\Delta IAK\) và \(\Delta ICB\) ta có:

\(\angle AIK = \angle CIB\) (cặp góc đối đỉnh)

\(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{IK}}{{IB}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta IAK \sim \Delta ICB\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \angle IAK = \angle ICB\;(2)\) (hai góc tương ứng)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle IAK = \angle BAM\left( { = \angle ICB} \right).\)

Hay \(AB\) là phân giác của \(\angle MAK\).\(\)

d) Khi \(AM\) là phân giác \(\angle CAB \Rightarrow \angle MAB = {45^0}\)

Mà \(\angle MAB = \angle ICB\) (chứng minh câu c)

\( \Rightarrow \angle ICB = {45^0}\)

\(\Delta KBC\) vuông tại K có \(\angle KCB = {45^0} \Rightarrow \angle CBK = {45^0}.\)

\(\Delta MB{\rm{D}}\) vuông tại M có \(\angle MB{\rm{D}} = {45^0} \Rightarrow \angle M{\rm{D}}B = {45^0}\)

Hay \(\Delta MB{\rm{D}}\) vuông cân tại \(M \Rightarrow MB = MD\) (tính chất tam giác cân).

\(\Delta ABC\) có AM là phân giác.

\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AC}}\) (tính chất đường phân giác).

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABC ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow {8^2} + {6^2} = B{C^2} \Rightarrow BC = 10\;cm\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{MB + MC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AB + BC}} = \frac{{10}}{{6 + 8}} = \frac{5}{7}\\ \Rightarrow \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{5}{7} \Rightarrow MB = \frac{{40}}{7}\,\,cm \Rightarrow MD = MB = \frac{{40}}{7}cm.\end{array}\)

Vậy \({S_{\Delta CB{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}.CB.DM = \frac{1}{2}.10.\frac{{40}}{7} = \frac{{200}}{7}\;c{m^2}\)

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.8.6 = 24\;c{m^2}\) \(\)

\(\Delta ABC\) có AM là phân giác:

\( \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta CMA}}}}{{{S_{\Delta BMA}}}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta CMA}}}}{3} = \frac{{{S_{\Delta BMA}}}}{4} = \frac{{{S_{\Delta CMA}} + {S_{\Delta BMA}}}}{{3 + 4}} = \frac{{24}}{7} \Rightarrow {S_{\Delta CMA}} = \frac{{72}}{7}\;c{m^2}\)

Vậy \({S_{AMB{\rm{D}}}} = {S_{\Delta CB{\rm{D}}}} - {S_{\Delta CMA}} = \frac{{200}}{7} - \frac{{72}}{7} = \frac{{128}}{7}\;c{m^2}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link