Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2}
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) và \(M\left( {4;6;3} \right)\). Qua \(M\) kẻ các tia \(Mx,\,My,\,Mz\) đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là \(A,B,C\). Biết mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) luôn đi qua một điểm cố định \(H\left( {a;b;c} \right).\) Tính \(a + 3b - c.\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAFC, H là giao điểm của MI và BO,
Chứng minh (ABC) luôn đi qua điểm cố định H.
Ta có $M(4 ; 6 ; 3)$ nằm trên mặt cầu $(S)$ tâm $I(1 ; 2 ; 3)$ bán kính $R=5$.
Dựng hình hộp chữ nhật nội tiếp hình cầu, có ba cạnh làMA, $\mathrm{MB}, \mathrm{MC}$
Ta có tâm $\mathrm{I}(1 ; 2 ; 3)$ của mặt cầu cũng là tâm của hình hộp chữ nhật
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAFC
Trong mặt phẳng (MBF)
gọi $H=M I \cap B O$
$\Rightarrow H \in B O \subset(A B C)$
Do H là trọng tâm của tam giác MBF nên $\mathrm{MH}=\dfrac{2}{3} \mathrm{MI}$
Do $\mathrm{I}, \mathrm{M}$ cố định nên H cố định (2)
Từ (1) và (2) Suy ra ( ABC ) luôn đi qua điểm cố định H .
Gọi $H(a ; b ; c)$. Ta có $\overrightarrow{M H}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{M I}$ với $\overrightarrow{M H}(a-4 ; b-6 ; c-3)$ và $\overrightarrow{M I}(-3 ;-4 ; 0)$
Ta được $\left\{\begin{array}{l}a-4=-2 \\ b-6=-\dfrac{8}{3} \\ c-3=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=\dfrac{10}{3} \\ c=3\end{array}\right.\right.$.
Vậy $a+3 b-c=2+10-3=9$.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
