Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2}

Câu hỏi số 325360:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$ và $M\left( {4;6;3} \right)$. Qua $M$ kẻ các tia $Mx,\,My,\,Mz$ đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là $A,B,C$. Biết mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ luôn đi qua một điểm cố định $H\left( {a;b;c} \right).$ Tính $a + 3b - c.$

A. $9$

B. $20$

C. $14$

D. $11$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325360

Phương pháp giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAFC, H là giao điểm của MI và BO,

Chứng minh (ABC) luôn đi qua điểm cố định H.

Giải chi tiết

Ta có $M(4 ; 6 ; 3)$ nằm trên mặt cầu $(S)$ tâm $I(1 ; 2 ; 3)$ bán kính $R=5$.

Dựng hình hộp chữ nhật nội tiếp hình cầu, có ba cạnh làMA, $\mathrm{MB}, \mathrm{MC}$

Ta có tâm $\mathrm{I}(1 ; 2 ; 3)$ của mặt cầu cũng là tâm của hình hộp chữ nhật

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAFC

Trong mặt phẳng (MBF)

gọi $H=M I \cap B O$

$\Rightarrow H \in B O \subset(A B C)$

Do H là trọng tâm của tam giác MBF nên $\mathrm{MH}=\dfrac{2}{3} \mathrm{MI}$

Do $\mathrm{I}, \mathrm{M}$ cố định nên H cố định (2)

Từ (1) và (2) Suy ra ( ABC ) luôn đi qua điểm cố định H .

Gọi $H(a ; b ; c)$. Ta có $\overrightarrow{M H}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{M I}$ với $\overrightarrow{M H}(a-4 ; b-6 ; c-3)$ và $\overrightarrow{M I}(-3 ;-4 ; 0)$

Ta được $\left\{\begin{array}{l}a-4=-2 \\ b-6=-\dfrac{8}{3} \\ c-3=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=\dfrac{10}{3} \\ c=3\end{array}\right.\right.$.

Vậy $a+3 b-c=2+10-3=9$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.