Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) lần lượt có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 22 = 0,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y + 2z + 5 = 0\). Xét các mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi \(A\left( {a;b;c} \right)\) là điểm mà tất cả các mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua. Tính tổng \(S = a + b + c.\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right);\left( {{S_2}} \right)\)
Xác định vị trí điểm \(A\) rồi sử dụng định lý Ta-let để có tỉ lệ cạnh và suy ra tọa độ \(A.\)
Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\) và bán kính \({R_1} = 5\)
Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(O\left( {3; - 2; - 1} \right)\) và bán kính \({R_2} = 3.\)
Nhận thấy \(\overrightarrow {OI} = \left( { - 2;3;2} \right) \Rightarrow OI = \sqrt {17} \)
\( \Rightarrow {R_2} - {R_1} < OI < {R_1} + {R_2}\left( {2 < \sqrt {17} < 5} \right)\)
Nên hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) cắt nhau.
Giả sử mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với cả hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right);\left( {{S_2}} \right)\) lần lượt tại \(H;K\). Khi đó giao điểm của \(HK\) và \(OI\) chính là điểm \(A\) cần tìm.
Xét tam giác \(AIH\) có \(OK//HI\) (cùng vuông với \(HK\)) nên \(\dfrac{{AO}}{{AI}} = \dfrac{{OK}}{{IH}} = \dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow 5\overrightarrow {AO} = 3\overrightarrow {AI} \)
Gọi \(A\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AO} = \left( {3 - a; - 2 - b; - 1 - c} \right);\overrightarrow {AI} = \left( {1 - a;1 - b;1 - c} \right)\)
Suy ra \(5\overrightarrow {AO} = 3\overrightarrow {AI} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\left( {3 - a} \right) = 3\left( {1 - a} \right)\\5\left( { - 2 - b} \right) = 3\left( {1 - b} \right)\\5\left( { - 1 - c} \right) = 3\left( {1 - c} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = - \dfrac{{13}}{2}\\c = - 4\end{array} \right.\) nên \(A\left( {6; - \dfrac{{13}}{2}; - 4} \right) \Rightarrow a + b + c = 6 + \left( { - \dfrac{{13}}{2}} \right) + \left( { - 4} \right) = - \dfrac{9}{2}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
