Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và

Câu hỏi số 332688:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(AB = \sqrt 3 a,AD = a,SA = a\).

a) Chứng minh tam giác \(SDC\) vuông.

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

c) Tính theo \(a\) khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332688

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(CD \bot \left( {SAD} \right)\) suy ra kết luận.

b) Chứng minh \(CB \bot \left( {SAB} \right)\) suy ra góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

c) Sử dụng phương pháp tính gián tiếp:

\(\dfrac{{d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( \alpha \right)} \right)}} = \dfrac{{IA}}{{IH}} \Rightarrow {\rm{ }}d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{IA}}{{IH}}.d\left( {H,\left( \alpha \right)} \right){\rm{ }}\)

Chú ý: Nếu tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và có đường cao \(OH\) thì \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\CD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot CD\).

Mà \(CD \bot AD\) nên \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\).

Do đó tam giác \(SCD\) vuông tại \(D\).

b) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\BC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BC\).

Mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SB \subset \left( {SBC} \right),AB \subset \left( {ABCD} \right)\\SB \bot BC,AB \bot BC\end{array} \right.\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AB\) hay \(\widehat {SBA}\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {SBA} = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {SBA} = {30^0}\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^0}\).

c) Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow AC \cap \left( {SBD} \right) = O\).

Mà \(AO = CO\) nên \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Dễ thấy tứ diện \(SABD\) có ba cạnh \(AB,AD,AS\) đôi một vuông góc nên gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( {SBD} \right)\) thì:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{A{S^2}}}\) \( = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow A{H^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{7} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Chú ý khi giải

Trường hợp HS không được học công thức \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{A{S^2}}}\) thì có thể chứng minh như sau:

Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(SBD\) và \(M = SH \cap BD\) thì \(SH \bot BD\). Mà \(SA \bot BD\) nên \(BD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BD \bot AH\) và \(BD \bot AM\).

Tương tự chứng minh được \(SB \bot AH\) hay \(AH \bot \left( {SBD} \right)\).

Xét tam giác vuông \(SAM\) có \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}}\).

Xét tam giác vuông \(ABD\) có \(\dfrac{1}{{A{M^2}}} = \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}}\).

Vậy \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{A{S^2}}}\) (đpcm).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.