Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;4) và hai điểm M, B thỏa mãn \(MA.\overrightarrow {MA}
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;4) và hai điểm M, B thỏa mãn \(MA.\overrightarrow {MA} + MB.\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 .\) Giả sử điểm M thay đổi trên đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 4}}{1}\). Khi đó điểm B thay đổi trên đường thẳng có phương trình là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Theo bài ra ta có: \(MA.\overrightarrow {MA} + MB.\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow MA.\overrightarrow {MA} = - MB.\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {MA} }}{{\overrightarrow {MB} }} = - \dfrac{{MB}}{{MA}} < 0\).
\( \Rightarrow M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\).
Dễ thấy khi \(M\) chạy trên \(d\) và \(M,\,\,B\) thỏa mãn \(MA.\overrightarrow {MA} + MB.\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) thì \(B\) chạy trên đường thẳng \({d_1}//d\).
Gọi \({M_1},\,\,{B_1}\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(d,\,\,{d_1} \Rightarrow {M_1}A.\overrightarrow {{M_1}A} + {M_1}{B_1}.\overrightarrow {{M_1}{B_1}} = \overrightarrow 0 \).
\({M_1} \in d \Rightarrow {M_1}\left( { - 3 + 2t;1 + 2t; - 4 + t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}A} = \left( {4 - 2t;1 - 2t;8 - t} \right)\).
\(\overrightarrow {{M_1}A} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {4 - 2t} \right) + 2\left( {1 - 2t} \right) + 8 - t = 0 \Leftrightarrow t = 2\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{M_1}A} = \left( {0; - 3;6} \right) \Rightarrow {M_1}A = 3\sqrt 5 \\{M_1}\left( {1;5; - 2} \right)\end{array} \right.\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_1} \Rightarrow \Delta \) đi qua \(A,\,\,{M_1}\).
\( \Rightarrow Pt\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 - t\\z = 4 + 2t\end{array} \right.;\,\,{B_1} \in \Delta \Rightarrow {B_1}\left( {1;2 - b;4 + 2b} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{B_1}} = \left( {0; - 3 - b;6 + 2b} \right) \Rightarrow {M_1}{B_1} = \sqrt {{{\left( { - 3 - b} \right)}^2} + {{\left( {6 + 2b} \right)}^2}} = \sqrt 5 \left| {b + 3} \right|\).
\(\begin{array}{l}{M_1}A.\overrightarrow {{M_1}A} + {M_1}{B_1}.\overrightarrow {{M_1}{B_1}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 3\sqrt 5 \left( {0; - 3;6} \right) + \sqrt 5 \left| {b + 3} \right|\left( {0; - 3 - b;6 + 2b} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9 + \left| {b + 3} \right|\left( { - 3 - b} \right) = 0\\18 + \left| {b + 3} \right|\left( {6 + 2b} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| {b + 3} \right|\left( {b + 3} \right) = - 9 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + 3 < 0\\{\left( {b + 3} \right)^2} = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < - 3\\\left[ \begin{array}{l}b + 3 = 3\\b + 3 = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < 3\\\left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = - 6\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{B_1}\left( {1;2;4} \right)\,\,\left( {ktm\,\,do\,\, \equiv A} \right)\\{B_1}\left( {1;8; - 8} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Dựa vào các đáp án ta thấy \({B_1} \in {d_1}:\dfrac{{x + 7}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 12}}{1}\).
Vậy khi điểm M thay đổi trên đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 4}}{1}\) thì điểm B thay đổi trên đường thẳng có phương trình là \({d_1}:\dfrac{{x + 7}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 12}}{1}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
