Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a2+b2+(a+b)=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 33340:

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a²+b²+(a+b)=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=2\left ( \frac{a^{2}+1}{a^{2}+a}+\frac{b^{2}+1}{b^{2}+b} \right )+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^{2}+1}}$

A. MinP= $1+\frac{2}{\sqrt{5}}$

B. MinP= $4+\frac{2}{\sqrt{5}}$

C. MinP= $4+\frac{2}{\sqrt{6}}$

D. MinP= $5+\frac{2}{\sqrt{5}}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:33340

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có: $4\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}+(a+b)\Leftrightarrow$ $-4\leq a+b\leq 2\Rightarrow 0<a+b\leq 2$

Ta có: $2\frac{a^{2}+1}{a^{2}+a}\geq -a+3\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a+2)\geq 0$ ( Luôn đúng)

Tương tự ta có: $2\frac{b^{2}+1}{b^{2}+b}\geq -b+3$

Do đó $P\geq -(a+b)+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^{2}+1}}+6$ .

Đặt t=a+b, 0<t $\leq$ 2, ta có: $P\geq -t+\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}+6$

Xét hàm số $f'(t)=-t+\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}+6}, t\in (0;2]$

$\Rightarrow f'(t)=-1+\frac{1}{(\sqrt{t^{2}+1})^{3}}<0,$ $\forall t\in (0;2]$

Do f(t) liên tục nên f(t) nghịch biến trên (0;2] => f(t) $\geq$ f(2) $=4+\frac{2}{\sqrt{5}},\forall t\in (0;2]$ $=4+\frac{2}{\sqrt{5}},\forall t\in (0;2]$

Vậy MinP= $4+\frac{2}{\sqrt{5}}$ đạt được khi a=b=1

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.