Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3{m^3}\). Biết rằng có hai giá trị của tham số \(m\) để đồ

Câu hỏi số 335330:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3{m^3}\). Biết rằng có hai giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A,B\) và tam giác \(OAB\) có diện tích bằng \(48\). Khi đó tổng hai giá trị của \(m\) là:

A. \(2\)

B. \(-2\)

C. \(0\)

D. \(\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335330

Phương pháp giải

Xác định tọa độ 2 điểm cực trị, và phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Từ đó, xác định công thức tính diện tích tam giác OAB theo tham số \(m.\)

Giải chi tiết

\(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3{m^3} \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6mx,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\,,\,\,\left( {m > 0} \right)\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ hai điểm cực trị: \(A\left( {0;3{m^3}} \right),B\left( {2m; - {m^3}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}} \)

Ta có: \(y = y'.\left( {\frac{1}{3}x - \frac{m}{3}} \right) - 2mx + 3{m^3}\,\,\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: \(y = - 2{m^2}x + 3{m^3} \Leftrightarrow 2{m^2}x + y - 3{m^3} = 0\)

\( \Rightarrow d\left( {O;AB} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 - 3{m^3}} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }} = \frac{{\left| {3{m^3}} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }}\)

Diện tích tam giác OAB là:

\(S = \frac{1}{2}.\frac{{\left| {3{m^3}} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }}.\sqrt {4{m^2} + 16{m^6}} = 48 \Rightarrow \frac{1}{2}.\left| {3{m^3}} \right|.\left| {2m} \right| = 48 \Leftrightarrow {m^4} = 16 \Leftrightarrow m = \pm 2\)

Tổng hai giá trị của \(m\) là: \( - 2 + 2 = 0.\)

Chọn: C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.