Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 2 - i} \right| - \left| {z - 2 - 3i} \right| = 2\sqrt 5 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\).
Câu 335332: Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 2 - i} \right| - \left| {z - 2 - 3i} \right| = 2\sqrt 5 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\).
A. \({\left| z \right|_{\min }} = \sqrt 5 \).
B. \({\left| z \right|_{\min }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\).
C. \({\left| z \right|_{\min }} = \sqrt {13} \).
D. \({\left| z \right|_{\min }} = 2\sqrt 5 \).
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp hình học.
-
Đáp án : C(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử \(M,A,B\) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \(z,\,\,{z_1} = - 2 + i,\,\,{z_2} = 2 + 3i\)
Khi đó, \(\left| {z + 2 - i} \right| - \left| {z - 2 - 3i} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow MA - MB = 2\sqrt 5 \), với \(A\left( { - 2;1} \right),\,B\left( {2;3} \right)\)
Nhận xét: \(AB = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \Rightarrow MA - MB = AB \Rightarrow B\) trên đoạn thẳng \(MB\).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}t\overrightarrow {AB} ,\,\,t \ge 0 \Leftrightarrow M\left( {2 + 2t;3 + t} \right)\\ \Rightarrow \left| z \right| = OM = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {3 + t} \right)}^2}} = \sqrt {5{t^2} + 14t + 13} ,\,\,t \ge 0.\end{array}\)
Xét \(f\left( t \right) = 5{t^2} + 14t + 13,\,\,t \in \left[ {0; + \infty } \right),\,\,\,\,f'\left( t \right) = 10t + 14 > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right)\)
\(f\left( t \right)\) liên tục và đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right) \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 13\)
\( \Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} = \sqrt {13} \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow M\left( {2;3} \right)\,\,\,\left( {M \equiv B} \right).\)
Chọn: C
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
