Cho các số thực x, y với \(x \ge 0\) thỏa mãn \({e^{x + 3y}} + {e^{xy + 1}} + x\left( {y + 1} \right) + 1 =

Câu hỏi số 335333:

Vận dụng

Cho các số thực x, y với \(x \ge 0\) thỏa mãn \({e^{x + 3y}} + {e^{xy + 1}} + x\left( {y + 1} \right) + 1 = {e^{ - xy - 1}} + \frac{1}{{{e^{x + 3y}}}} - 3y\). Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = x + 2y + 1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(m \in \left( {2;3} \right)\).

B. \(m \in \left( { - 1;0} \right)\).

C. \(m \in \left( {0;1} \right)\).

D. \(m \in \left( {1;2} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335333

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có: \({e^{x + 3y}} + {e^{xy + 1}} + x\left( {y + 1} \right) + 1 = {e^{ - xy - 1}} + \frac{1}{{{e^{x + 3y}}}} - 3y \Leftrightarrow {e^{x + 3y}} - \frac{1}{{{e^{x + 3y}}}} + x + 3y = {e^{ - xy - 1}} - \frac{1}{{{e^{ - xy - 1}}}} - xy - 1\) (1)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {e^t} - \frac{1}{{{e^t}}} + t\) có \(f'\left( t \right) = {e^t} + \frac{1}{{{e^t}}} + 1 > 0,\,\,\forall t \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục và đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Khi đó, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 3y} \right) = f\left( { - xy - 1} \right) \Leftrightarrow x + 3y = - xy - 1 \Leftrightarrow x + xy + 3y + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow y\left( {x + 3} \right) = - \left( {x + 1} \right) \Rightarrow y = - \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\,\,\,\left( {do\,\,\,x \ge 0} \right)\)

Suy ra, \(T = x + 2y + 1 = x - 2.\frac{{x + 1}}{{x + 3}} + 1 = x - 1 + \frac{4}{{x + 3}}\)

Ta chứng minh \(T \ge \frac{1}{3},\forall x \ge 0\):

Xét \(g\left( x \right) = x - 1 + \frac{4}{{x + 3}},\,\,\left( {x \ge 0} \right)\,\, \Rightarrow g'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0,\,\,x \ge 0\)

\( \Rightarrow g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\)

Vậy, GTNN của T là \(\frac{1}{3}\).

Chọn: C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.