Cho góc lượng giác \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\), \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và

Câu hỏi số 335924:

Vận dụng

Cho góc lượng giác \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\), \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và biểu thức \(P = \frac{{2\tan \alpha + 3\cot \alpha + 1}}{{\tan \alpha + \cot \alpha }} = \frac{{a + b\sqrt 2 }}{c}\) (a,b,c là các số nguyên). Khi đó \(a + b + c\) là:

A. \(16\)

B. \(26\)

C. \(33\)

D. \(30\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335924

Phương pháp giải

Xác định dấu của \(\cos x\) dựa vào đường tròn lượng giác từ đó tính bởi công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\). Từ đó tính \(\tan \alpha ,\,\,\cot \alpha \) thay vào \(P\) để tìm \(a,b,c.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \cos \alpha < 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \sqrt {\frac{8}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\,\,;\,\,\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow P = \frac{{2\tan \alpha + 3\cot \alpha + 1}}{{\tan \alpha + \cot \alpha }} = \frac{{2\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + 3\left( { - 2\sqrt 2 } \right) + 1}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} - 2\sqrt 2 }} = \frac{{ - \frac{1}{{\sqrt 2 }} - 6\sqrt 2 + 1}}{{\frac{{ - 1 - 8}}{{2\sqrt 2 }}}}\\ = \frac{{\frac{{ - 1 - 12 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{{ - 9}}{{2\sqrt 2 }}}} = \frac{{ - 26 + 2\sqrt 2 }}{{ - 9}} = \frac{{26 - 2\sqrt 2 }}{9}.\end{array}\)

Mà \(P = \frac{{a + b\sqrt 2 }}{c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 26\\b = - 2\\c = 9\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 26 - 2 + 9 = 33\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.