Cho góc lượng giác \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\), \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và

Câu hỏi số 335924:

Vận dụng

Cho góc lượng giác \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\), \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và biểu thức \(P = \frac{{2\tan \alpha + 3\cot \alpha + 1}}{{\tan \alpha + \cot \alpha }} = \frac{{a + b\sqrt 2 }}{c}\) (a,b,c là các số nguyên). Khi đó \(a + b + c\) là:

A. \(16\)

B. \(26\)

C. \(33\)

D. \(30\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335924

Phương pháp giải

Xác định dấu của \(\cos x\) dựa vào đường tròn lượng giác từ đó tính bởi công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\). Từ đó tính \(\tan \alpha ,\,\,\cot \alpha \) thay vào \(P\) để tìm \(a,b,c.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \cos \alpha < 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \sqrt {\frac{8}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\,\,;\,\,\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow P = \frac{{2\tan \alpha + 3\cot \alpha + 1}}{{\tan \alpha + \cot \alpha }} = \frac{{2\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + 3\left( { - 2\sqrt 2 } \right) + 1}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} - 2\sqrt 2 }} = \frac{{ - \frac{1}{{\sqrt 2 }} - 6\sqrt 2 + 1}}{{\frac{{ - 1 - 8}}{{2\sqrt 2 }}}}\\ = \frac{{\frac{{ - 1 - 12 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{{ - 9}}{{2\sqrt 2 }}}} = \frac{{ - 26 + 2\sqrt 2 }}{{ - 9}} = \frac{{26 - 2\sqrt 2 }}{9}.\end{array}\)

Mà \(P = \frac{{a + b\sqrt 2 }}{c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 26\\b = - 2\\c = 9\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 26 - 2 + 9 = 33\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10