Cho số nguyên dương n thỏa mãn + + ... + = 230 và khai triển (1 + x)(1 + 2x)n = a0 + a1x + … + an+1xn+1. Tìm hệ số ai lớn nhất với 0 ≤ i ≤ n + 1 ( là số tổ hợp chập k của n phần tử)

Câu hỏi số 3360:

Cho số nguyên dương n thỏa mãn $C_{2n+1}^{0}$ + $C_{2n+1}^{1}$ + ... + $C_{2n+1}^{n}$ = 2³⁰ và khai triển (1 + x)(1 + 2x)ⁿ = a₀ + a₁x + … + a_n+1xⁿ⁺¹. Tìm hệ số a_i lớn nhất với 0 ≤ i ≤ n + 1 ( $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập k của n phần tử)

A. Hệ số a_i lớn nhất là a₁₁

B. Hệ số a_i lớn nhất là a₁₂

C. Hệ số a_i lớn nhất là a₁₃

D. Hệ số a_i lớn nhất là a₁₄

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3360

Giải chi tiết

Ta có

$C_{2n+1}^{0}$ + $C_{2n+1}^{1}$ + ... + $C_{2n+1}^{n}$ = $C_{2n+1}^{n+1}$ + $C_{2n+1}^{n+2}$ + ... + $C_{2n+1}^{2n+1}$ nên

$C_{2n+1}^{0}$ + $C_{2n+1}^{1}$ + ... + $C_{2n+1}^{n}$ + $C_{2n+1}^{n+1}$ + $C_{2n+1}^{n+2}$ + ... + $C_{2n+1}^{2n+1}$ = 2³¹.

mà (1 + 1)²ⁿ⁺¹ = $C_{2n+1}^{0}$ + $C_{2n+1}^{1}$ + ... + $C_{2n+1}^{n}$ + $C_{2n+1}^{n+1}$ + $C_{2n+1}^{n+2}$ + ... + $C_{2n+1}^{2n+1}$

Suy ra 2n + 1 = 31 ⇔ n = 15

Giả sử (1 + 2x)¹⁵ = b₀ + b₁x + … + b₁₅x¹⁵. Khi đó

(1 + x)(1 + 2x)ⁿ = (1 + x)(b₀ + b₁x + … + b₁₅x¹⁵)

= b₀ + (b₀ + b₁)x + (b₁ + b₂)x² + … + (b₁₄ + b₁₅)x¹⁵ + b₁₅x¹⁶.

Ta có b_i = $C_{15}^{i}$ .2ⁱ , 0 ≤ i ≤ 15.

* b₁ > b_{i – 1} ⇔ $C_{15}^{i}$ .2ⁱ > $C_{15}^{i-1}$ . 2^{i - 1} ⇔ i ≤ 10.

* b₁ > b_{i + 1} ⇔ $C_{15}^{i}$ .2ⁱ > $C_{15}^{i+1}$ . 2^{i + 1} ⇔ i ≥10.

Suy ra b₀ < b₁ < ... < b₁₀ > b₁₁ > ... > b₁₅

Suy ra a₀ < a₁ < ... < a₁₀ = b₉ + b₁₀ và b₁₀ + b₁₁ = a₁₁ > a₁₂ > … > a₁₆.

Do b₉ = $C_{15}^{9}$ . 2⁹ < $C_{15}^{11}$ . 2¹¹ = b₁₁ nên a₁₀ < a₁₁. Suy ra hệ số a_i lớn nhất là a₁₁ = b₁₀ + b₁₁ = $C_{15}^{10}$ . 2¹⁰ + $C_{15}^{11}$ . 2¹¹.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.