Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = x + m\sqrt {{x^2} + 2} \) đồng biến

Câu hỏi số 336281:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = x + m\sqrt {{x^2} + 2} \) đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336281

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right) = 0\) tại hữu hạn điểm.

Giải chi tiết

Ta có: \(y = x + m\sqrt {{x^2} + 2} \)\( \Rightarrow y' = 1 + \dfrac{{mx}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}.\)

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\(\begin{align} \Leftrightarrow 1+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\ge 0\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2}+mx\ge 0\,\forall x\in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow mx\ge -\sqrt{{{x}^{2}}+2}\,\forall x\in \mathbb{R}\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\)

+) Với \(x=0\Rightarrow y'\ge 0\,\,\,\forall m\Rightarrow tm\).

+) Với \(x>0\) ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{x}=g\left( x \right)\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)\).

+) Với \(x < 0\) ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow m\le -\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{x}=g\left( x \right)\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\le \underset{\left( -\infty ;\,\,0 \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\)

Xét \(g\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{x}\,\,\left( x\ne 0 \right)\) ta có:

\(g'\left( x \right)=\dfrac{-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+2}}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2 \right)}>0\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)

Hàm số đồng biến trên trên \(\left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( 0;+\infty \right)\).

BBT:

Dựa vào BBT ta có: \( - 1 \le m \le 1\) thỏa mãn bài toán. Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;\,0;\,1} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.