Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Biết rằng \(BM\) vuông góc với \(AN\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp tọa độ hóa, gắn hệ trục tọa độ.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\). Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(Ay,\,\,Ax\),
Tam giác \(ABC\) đều cạnh 1
\( \Rightarrow BE = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HE = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} = AF;\,\,AE = \dfrac{1}{2}\).
Ta có: \(A\left( {0;0;0} \right),\,\,B\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2};0} \right),\,\,C\left( {0;1;0} \right),\,\,H\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{6};\dfrac{1}{2};0} \right)\).
\(H\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\), chóp \(S.ABC\) đều \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \) Gọi \(S\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2};s} \right)\), không mất tính tổng quát, ta giả sử \(s > 0\).
\(M\) là trung điểm của \(SA \Rightarrow M\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}};\dfrac{1}{4};\dfrac{s}{2}} \right)\), \(N\) là trung điểm của \(SC \Rightarrow N\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}};\dfrac{3}{4};\dfrac{s}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {BM} = \left( { - \dfrac{{5\sqrt 3 }}{{12}}; - \dfrac{1}{4};\dfrac{s}{2}} \right);\,\,\overrightarrow {AN} = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}};\dfrac{3}{4};\dfrac{s}{2}} \right)\).
\(BM \bot AN \Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AN} = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{5}{{48}} - \dfrac{3}{{16}} + \dfrac{{{s^2}}}{4} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{s^2}}}{4} = \dfrac{7}{{24}} \Leftrightarrow s = \dfrac{{\sqrt {42} }}{6}\).
\( \Rightarrow S\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt {42} }}{6}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( {0;0; - \dfrac{{\sqrt {42} }}{6}} \right) \Rightarrow SH = \dfrac{{\sqrt {42} }}{6}\).
Tổng quát : \(SH = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{6}\) ; lại có \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {42} }}{6}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{{24}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
