Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = m{x^4} - \left( {m - 3} \right){x^2} + {m^2}\)

Câu hỏi số 336296:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = m{x^4} - \left( {m - 3} \right){x^2} + {m^2}\) không có điểm cực đại là:

A. \(2\)

B. Vô số

C. \(0\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336296

Phương pháp giải

Biện luận số nghiệm của phương trình \(y' = 0\) và kết luận về cực trị của hàm số.

Giải chi tiết

TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = 3{x^2}\).

\(y' = 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,\,y'' = 6 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\).

\( \Rightarrow \) Khi \(m = 0\) hàm số không có cực đại \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.

TH2: \(m \ne 0\).

Ta có \(y' = 4m{x^3} - 2\left( {m - 3} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\4m{x^2} = 2\left( {m - 3} \right) \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{m - 3}}{{2m}}\,\,\left( {m \ne 0} \right)\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

\(y'' = 12m{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)\).

Để hàm số \(y = m{x^4} - \left( {m - 3} \right){x^2} + {m^2}\) không có điểm cực đại:

+) \(\left( * \right)\) vô nghiệm \( \Rightarrow \frac{{m - 3}}{{2m}} < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 3\).

\( \Rightarrow \) Hàm số chỉ có 1 cực trị \(x = 0\).

Để \(x = 0\) là điểm cực tiểu \( \Rightarrow y''\left( 0 \right) > 0 \Leftrightarrow - 2\left( {m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow m < 3\).

\( \Rightarrow 0 < m < 3\).

+) \(\left( * \right)\) có nghiệm kép \(x = 0 \Rightarrow m = 3\).

Khi đó \(y' = 12{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Qua điểm \(x = 0\) ta thấy \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương \( \Rightarrow x = 0\) là điểm cực tiểu \( \Rightarrow m = 3\) thỏa mãn.

+) \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Hàm số luôn có cực đại \( \Rightarrow \) Loại.

Vậy để hàm số đã cho không có cực đại thì \(0 \le m \le 3\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.