Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD = 2a\), hình chiếu vuông góc của

Câu hỏi số 336328:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD = 2a\), hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(2HA = HB\). Biết \(SA = a\sqrt 2 ,\,\,SH = a\).

a) Chứng minh rằng: \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

b) Tính góc giữa \(SD\) và \(\left( {ABCD} \right)\)

c) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SHD} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336328

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

b) \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow HD\) là hình chiếu của \(SD\) trên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SD;HD} \right) = \angle SDH\).

Trong tam giác vuông \(SAH:\,\,AH = \sqrt {S{A^2} - S{H^2}} = a\).

Trong tam giác vuông \(ADH:\,\,HD = \sqrt {A{D^2} + A{H^2}} = a\sqrt 5 \).

Trong tam giác vuông \(SHD:\,\,\tan \angle SDH = \dfrac{{SH}}{{HD}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\).

\( \Rightarrow \angle SDH \approx {24^0}6' \Rightarrow \angle \left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right) \approx {24^0}6'\).

c) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AE \bot HD\,\,\left( {E \in HD} \right)\) ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot HD\\AE \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot \left( {SHD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SHD} \right)} \right) = AE\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHD\) ta có: \(AE = \dfrac{{AH.AD}}{{HD}} = \dfrac{{a.2a}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SHD} \right)} \right) = \dfrac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.