Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 1. \(M,N\) lần lượt là các điểm di động trên các
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 1. \(M,N\) lần lượt là các điểm di động trên các cạnh \(AB,AC\) sao cho hai mặt phẳng \(\left( {DMN} \right),\left( {ABC} \right)\) vuông góc với nhau. Đặt \(AM = x,AN = y\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
\(\left( {DMN} \right),\left( {ABC} \right)\) vuông góc với nhau \( \Rightarrow \left( {DMN} \right)\) luôn đi qua đường cố định là đường vuông góc kẻ từ D đến (ABC). Bài toán: Cho G là trọng tâm tam giác ABC, đường thẳng qua G cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Ta chứng minh được: \(\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = 3\). Thật vậy, Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
Dựng GP // AB, GQ // AC, \(\left( {P \in AC,\,\,Q \in AB} \right)\).
Ta có: \(\dfrac{{GP}}{{AB}} = \dfrac{{GK}}{{BK}} = \dfrac{1}{3},\,\,\dfrac{{GQ}}{{AC}} = \dfrac{{GI}}{{IC}} = \dfrac{1}{3}\)
Lại có: \(\dfrac{{GP}}{{AM}} = \dfrac{{GN}}{{MN}},\,\,\,\,\dfrac{{GQ}}{{AN}} = \dfrac{{GM}}{{MN}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AM}} = 3.\dfrac{{GN}}{{MN}},\,\,\dfrac{{AC}}{{AN}} = 3.\dfrac{{GM}}{{MN}} \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = 3\) (đpcm).
Gọi G là tâm của tam giác đều ABC. Do \(ABCD\) là tứ diện đều nên \(DG \bot \left( {ABC} \right)\)
Ta có: \(\left( {DMN} \right) \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {DMN} \right) \supset DG \Rightarrow G \in MN\)
Áp dụng bài toán đã chứng minh ở trên, ta có:
\(\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3 \Leftrightarrow x + y = 3xy\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
