Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y =

Câu hỏi số 336718:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. \({a^2} + {b^2} + {c^2} > \dfrac{4}{3}\).

B. \({a^2} + {b^2} + {c^2} < \dfrac{4}{3}\).

C. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{4}{3}\).

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le \dfrac{4}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336718

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành là: \({x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1 = 0\) (1)

Gọi \({x_0}\) là nghiệm của phương trình (1), (hiển nhiên \({x_0} \ne 0\)). Khi đó: \(x_0^4 + ax_0^3 + bx_0^2 + c{x_0} + 1 = 0\) (2)

Ta có: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow b = - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} + 1} \right) = \left( {{a^2} + {{\left( { - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}}} \right)}^2} + {c^2}} \right)\left( {x_0^2 + 1 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)\\ \ge {\left( {a.{x_0} + \left( { - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}}} \right).1 + c.\dfrac{1}{{{x_0}}}} \right)^2} = {\left( {a{x_0} - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}} + \dfrac{c}{{{x_0}}}} \right)^2} = {\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)^2}\\ \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge \dfrac{{{{\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)}^2}}}{{x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} + 1}}\end{array}\)

Đặt \(t = x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} \ge 2\), ta có: \(\dfrac{{{{\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)}^2}}}{{x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} + 1}} = \dfrac{{{t^2}}}{{t + 1}} \ge \dfrac{4}{3},\,\,\forall t \ge 2\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{4}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c = - \dfrac{2}{3}\\a = c = \dfrac{2}{3},\,b = - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.