Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( {1;2;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P

Câu hỏi số 337460:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( {1;2;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi đi qua \(M\) cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A,B,C\) khác gốc tọa độ. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện \(OABC.\)

A. \(18\)

B. \(9\)

C. \(6\)

D. \(54\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:337460

Phương pháp giải

Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(Ox;Oy;Oz\) lần lượt tại \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\,\,\,\left( {a;b;c \ne 0} \right)\) thì có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Thể tích khối tứ diện \(OABC\) là \(V = \frac{1}{6}OA.OB.OC\)

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(a,b,c\) không âm \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c.\)

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) \(\left( {a;b;c > 0} \right)\) thì \(\left( P \right)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Vì \(M\left( {1;2;1} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\)

Thể tích khối tứ diên \(OABC\) là \(V = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}abc\)

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \(V = \frac{1}{6}abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(\frac{1}{a};\frac{2}{b};\frac{1}{c}\) ta có \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{2}{{abc}}}} \Leftrightarrow 1 \ge 3\frac{{\sqrt[3]{2}}}{{\sqrt[3]{{abc}}}} \Leftrightarrow 1 \ge \frac{{54}}{{abc}} \Leftrightarrow abc \ge 54\)

Dấu ‘’=’’ xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{1}{c}\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 3\end{array} \right.\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(V\) là \(\frac{1}{6}.54 = 9 \Leftrightarrow a = 3;b = 6;c = 3.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.