Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có \(SA = a\sqrt 5 ,\,\,AB = a\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là

Câu hỏi số 338616:

Vận dụng

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có \(SA = a\sqrt 5 ,\,\,AB = a\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SB,\,\,SC,\,\,SD\). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \(DN\) và mặt phẳng \(\left( {MQP} \right)\)?

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {15} }}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:338616

Phương pháp giải

+) Chứng minh \(\angle \left( {DN;\left( {MQP} \right)} \right) = d\left( {DN;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {DN;\left( {ABCD} \right)} \right)\).

+) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Giải chi tiết

Dễ dàng chứng minh được \(MNPQ\) đồng phẳng và \(\left( {MNPQ} \right)//\left( {ABCD} \right)\) dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác.

\( \Rightarrow \angle \left( {DN;\left( {MQP} \right)} \right) = d\left( {DN;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {DN;\left( {ABCD} \right)} \right)\).

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(OB\).

Xét tam giác \(SOB\) có \(NH\) là đường trung bình

\( \Rightarrow NH//SO \Rightarrow NH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow DH\) là hình chiếu của \(DN\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {DN;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {DN;DH} \right) = \angle NDH\).

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow BD = a\sqrt 2 \Rightarrow DH = \dfrac{3}{4}BD = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\) và \(OB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(SOB\) có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {5{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}\) \( \Rightarrow NH = \dfrac{1}{2}SO = \dfrac{{3a}}{{2\sqrt 2 }}\).

Xét tam giác vuông \(NHD\) có: \(ND = \sqrt {N{H^2} + H{D^2}} = \sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{8} + \dfrac{{9{a^2}}}{8}} = \dfrac{{3a}}{2}\).

\( \Rightarrow \cos \angle NDH = \dfrac{{DH}}{{ND}} = \dfrac{{\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}}}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.