Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a√3, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc α thỏa mãn cosα = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C. AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BD

Câu hỏi số 3387:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a√3, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc α thỏa mãn cosα = $\frac{2}{\sqrt{7}}$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C. AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BD

A. V_C.AMN = a³. d(AM , BD) = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

B. V_C.AMN = $\frac{a^{3}}{4}$ d(AM , BD) = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

C. V_C.AMN = $\frac{a^{3}}{4}$ d(AM , BD) = $\frac{a\sqrt{15}}{5}$

D. V_C.AMN = a³. d(AM , BD) = $\frac{a\sqrt{15}}{5}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3387

Giải chi tiết

Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA ⊥ (ABCD).

Từ đó suy ra ( $\widehat{SC,(ABCD)}$ ) = $\widehat{SCA}$ = α.

Ta có AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{3a^{2}+a^{2}}$ = 2a.

Trong tam giác vuông SAC có SC = $\dpi{100} \small \frac{AC}{cos\alpha }$ = $\dpi{100} \small \frac{2a}{2}$ = a√7

Trong tam giác vuông SAC ta có SA = $\sqrt{SC^{2}-AC^{2}}$ = $\sqrt{7a^{2}-4a^{2}}$

= a√3.

Từ đó suy ra

V_S.ABCD = $\frac{1}{3}$ .a√3.a√3.a = a³.

Ta có V_C.AMN = V_S.ABCD – V_S.CMN – V_N.ABC – V_M.ACD – V_S.AMN

= V_S.ABCD (1 - $\frac{1}{8}$ - $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{8}$ )

= $\frac{1}{4}$ V_S.ABCD = $\frac{a^{3}}{4}$ (đvtt)

Tam giác AMN có AN = MN = a, AN = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Nên có diện tích bằng $\frac{a^{2}\sqrt{15}}{8}$ .

Suy ra d(C , (AMN)) = $\frac{3V_{C.AMN}}{S_{AMN}}$ = $\frac{\frac{3a^{3}}{4}}{\frac{a^{2}\sqrt{15}}{8}}$ = $\frac{2a\sqrt{15}}{5}$

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có:

d(AM , BD) = d(BD , (AMN)) = d(O , (AMN)) = $\frac{1}{2}$ d(C , (AMN)) = $\frac{a\sqrt{15}}{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.