Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = 2a,AD = a\sqrt 3 \), cạnh bên \(SA\) vuông góc

Câu hỏi số 339698:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = 2a,AD = a\sqrt 3 \), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa \(SD\) và mặt phẳng đáy là \({30^0}\). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

A. \(8\pi {a^2}\)

B. \(\dfrac{{8\pi {a^2}}}{3}\)

C. \(4\pi {a^2}\)

D. \(\dfrac{{4\pi {a^2}}}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339698

Phương pháp giải

- Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

- Tính diện tích theo công thức \(S = 4\pi {R^2}\).

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Qua \(O\) dựng đường thẳng \(d\) vuông góc với đáy. Mặt phẳng trung trục của \(SA\) cắt \(d\) tại \(I\).

Khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa \(SD\) và đáy bằng \(\widehat {SDA} = {30^0}\).

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có \(AD = a\sqrt 3 ,\widehat {SDA} = {30^0}\) \( \Rightarrow SA = AD\tan {30^0} = a\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = a\)

\( \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AS = \dfrac{a}{2}\) ; \(AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {3{a^2} + 4{a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\)

\( \Rightarrow AI = \sqrt {A{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {\dfrac{{7{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow S = 4\pi A{I^2} = 4\pi .{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi {a^2}\).

Chú ý khi giải

Các em cũng có thể sử dụng ngay công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy, đó là \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \), với \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, \(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, \(h\) là độ dài cạnh bên vuông góc đáy.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.