Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(Q\left( {2;\,\,3} \right)\) và cắt các tia \(Ox,\,\,Oy\) tại các

Câu hỏi số 339783:

Vận dụng cao

Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(Q\left( {2;\,\,3} \right)\) và cắt các tia \(Ox,\,\,Oy\) tại các điểm \(A\) và \(B\,\,\left( { \ne O} \right).\) Biết rằng \(\Delta OAB\) có diện tích nhỏ nhất, đường thẳng \(d\) có phương trình là:

A. \(x - y + 1 = 0\)

B. \(4x - 3y + 1 = 0\)

C. \(5x + 2y - 16 = 0\)

D. \(3x + 2y - 12 = 0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339783

Phương pháp giải

Đường thẳng \(d\) cắt \(Ox\) tại \(A\left( {a;\,\,0} \right),\) cắt \(Oy\) tại \(B\left( {0;\,\,b} \right) \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {ab} \right|.\)

Giải chi tiết

Đường thẳng \(d\) đi qua \(Q\left( {2;\,\,3} \right)\) và có hệ số góc \(k\) có phương trình là: \(y = \,\,k\left( {x - 2} \right) + 3 \Leftrightarrow y = kx - 2k + 3.\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\ - 2k + 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\k \ne \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d \cap Ox = \left\{ A \right\} \Rightarrow A\left( {\frac{{2k - 3}}{k};\,\,0} \right)\\d \cap Oy = \left\{ B \right\} \Rightarrow B\left( {0;\,\, - 2k + 3} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow {S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{{2k - 3}}{k}.\left( {3 - 2k} \right)} \right| = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{{{\left( {2k - 3} \right)}^2}}}{k}} \right|\\ = \frac{1}{2}\left| {\frac{{4{k^2} - 12k + 9}}{k}} \right| = \frac{1}{2}\left| {4k + \frac{9}{k} - 12} \right|\\ \ge \frac{1}{2}\left| {2\sqrt {4k.\frac{9}{k}} - 12} \right| = \frac{1}{2}\left| { -0} \right| = 0.\end{array}\)

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow 4k = \frac{9}{k} \Leftrightarrow {k^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \frac{3}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\k = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

+) Với \(k = - \frac{3}{2}\) ta có: \(d:\,\,y = - \frac{3}{2}x + 6 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0.\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.