Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=xyz. Chứng minh rằng:

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 34028:

$xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{z^{2}+1}$

A. Click để xem đáp án.

B. Click để xem đáp án.

C. Click để xem đáp án.

D. Click để xem đáp án.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:34028

Giải chi tiết

Ta có xyz=x+y+z $\geq$ $2\sqrt{xy}+z\Rightarrow z.(\sqrt{xy})^{2}-2\sqrt{xy}+z\geq 0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}\geq \frac{1+\sqrt{z^{2}+1}}{z} & \\ \sqrt{xy}\leq \frac{1-\sqrt{z^{2}+1}}{z}( l)& \end{matrix}\right.$

Từ đó dẫn đến $z\sqrt{xy}\geq 1+\sqrt{z^{2}+1}$ , mà $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\Rightarrow \frac{z(x+y)}{2}\geq 1+\sqrt{z^{2}+1}$

Chứng minh tương tự $\frac{x(y+z)}{2}\geq 1+\sqrt{x^{2}+1}$ ; $\frac{y(x+z)}{2}\geq 1+\sqrt{y^{2}+1}$

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được xy+yz+zx $\geq 3+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{z^{2}+1}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z= $\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.