Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = a\ln 2 + \frac{b}{c}\) (với \(a\) là số hữu

Câu hỏi số 340345:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = a\ln 2 + \frac{b}{c}\) (với \(a\) là số hữu tỉ, \(b\), \(c\) là các số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản). Tính giá trị của \(S = 2a + 3b + c\).

A. \(S = 4\).

B. \(S = - 6\).

C. \(S = 6\).

D. \(S = 5\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340345

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến và nguyên hàm từng phần để để tính tích phân và chọn đáp án đúng.

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}} dx\)

Đặt \(\ln x = t \Rightarrow x = {e^t} \Rightarrow dt = \dfrac{1}{x}dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 2 \Rightarrow t = \ln 2\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\ln 2} {\dfrac{t}{{{e^t}}}dt = } \int\limits_0^{\ln 2} {t{e^{ - t}}dt} \)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = {e^{ - t}}dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = - {e^{ - t}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. { - t{e^{ - t}}} \right|_0^{\ln 2} + \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ - t}}dt} = - \ln 2.{e^{ - \ln 2}} - \left. {{e^{ - t}}} \right|_0^{\ln 2} = - \dfrac{1}{2}\ln 2 - {e^{ - \ln 2}} + 1 = - \dfrac{1}{2}\ln 2 + \dfrac{1}{2}.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = 1\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = 2a + 3b + c = 4.\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.