Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 2y + z + 5 = 0, (β): 4x - 3z + 23 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (β) tại A(5;2;1) và cắt (α) theo một đường tròn có diện tích bằng 16π. Biết rằng tâm của mặt cầu (S) có tọa độ nguyên.

Câu hỏi số 3409:

A. (S): (x – 1)² + (y - 2)² + (z + 2)² = 30

B. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z + 2)² = 25

C. (S): (x – 1)² + (y - 2)² + (z + 2)² = 25

D. (S): (x + 1)² + (y + 2)² + (z + 2)² = 25

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3409

Giải chi tiết

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (β) tại A nên tâm I của mặt cầu (S) nằm trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (β).

Ta có d: $\left\{\begin{matrix} x=5+4t\\y=2 \\z=1+3t \end{matrix}\right.$

Mặt cầu (S) cắt (α) theo một đường tròn có diện tích là 16π (r = 4) nên bán kính của mặt cầu (S) được tính theo công thức

R = $\sqrt{d^{2}(I,\left ( \alpha \right ))+r^{2}}$ = $\sqrt{d^{2}\left ( I,\left ( \alpha \right ) \right )+16}$

Vì I ∈ d nên I(5 + 4t;2;1 + 3t). Từ giả thiết ta có

IA = $\sqrt{d^{2}\left ( I,\left ( \alpha \right ) \right )+16}$ ⇔ (4t)² + (3t)² = $\frac{\left ( 20+11t \right )^{2}}{9}$ + 16

⇔ 104t² – 440t – 544 = 0 ⇔ $\begin{bmatrix} t=-1\\t=\frac{68}{13} \end{bmatrix}$

Vì I có tọa độ nguyên nên I(1;2;-2), R = IA = 5

Vậy (S): (x – 1)² + (y - 2)² + (z + 2)² = 25

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.