Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B;\)\(AB = BC = 1\), \(AD = 2\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B;\)\(AB = BC = 1\), \(AD = 2\). Các mặt chéo \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}\) (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+ Xác định đường cao hình chóp bằng kiến thức \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( R \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( R \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( Q \right)\)
+ Sử dụng công thức chuyển điểm \(\frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \frac{{AM}}{{BM}}\) với đường thẳng \(AB\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(M.\)
+ Tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) theo \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a \bot d;\,a \subset \left( P \right)\\b \bot d;\,b \subset \left( Q \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là góc giữa \(a\) và \(b.\)
+ \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = AH\) với \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right).\)
+ Sử dụng định lý Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính toán.
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) .
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SI\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\)
Kẻ \(IM \bot AD;\,IK \bot AB \Rightarrow IKAM\) là hình chữ nhật mà \(AI\) là phân giác \(\angle KAM\) nên \(KAMI\) là hình vuông. Suy ra \(KA = IK = IM = AM\)
Ta có \(\tan \angle BDA = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{1}{2}\) lại có \(\tan \angle IDM = \frac{{IM}}{{MD}}\) nên \(\frac{{IM}}{{MD}} = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}\)
Vì \(IM//AB \Rightarrow \frac{{IB}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}\) hay \(\frac{{BD}}{{IB}} = 3\)
Ta có \(\frac{{d\left( {D;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \frac{{BD}}{{IB}} = 3 \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAB} \right)} \right) = 3d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right)\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}IK \bot AB\\AB \bot SI\,\left( {do\,SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SKI} \right)\)
Kẻ \(IH \bot SK\) tại \(H\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot SK\\IH \bot AB\,\left( {do\,AB \bot SKI} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right)\) tại \(H\)
Suy ra \(d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = IH\)
Ta có \(IK = AM = \frac{1}{3}AD = \frac{2}{3}\)
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\IK \bot AB\\SK \bot AB\left( {do\,AB \bot \left( {SKI} \right)} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(IK\) và \(SK\) là góc \(\angle SKI = {60^0}\)
Xét tam giác vuông \(HIK\) có \(IH = KI.\sin \angle HKI = \frac{2}{3}\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Từ đó \(d\left( {D;\left( {SAB} \right)} \right) = 3d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = 3.IH = \sqrt 3 .\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
