Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn (a+ b +c)(b+ c

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 34270:

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn (a+ b +c)(b+ c - a)(c+ a -b)= 1

Chứng minh rằng: $(\frac{a+b+c}{3})^{5}$ ≥ $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$

A. Xảy ra khi a = b

B. Xảy ra khi a = b = c

C. Xảy ra khi b = c =1

D. Xảy ra khi a = b = c =1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:34270

Giải chi tiết

Đặt x= a + b - c ; y= b+ c -a; z = c + a -b => xyz = 1 => x; y; z > 0

Và a = $\frac{x+z}{2}$ ,b = $\frac{x+y}{2}$ ; c = $\frac{y+z}{2}$ . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$(\frac{x+y+z}{3})^{5}$ ≥ $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx}{6}$

= $\frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{xy+yz+zx}{6}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si: xy +yz + zx ≥ 3 $\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}$ = 3

=> $\frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{xy+yz+zx}{6}$ ≤ $\frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{1}{2}.$

Ta cần chứng minh: $(\frac{x+y+z}{3})^{5}$ ≥ $\frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{1}{2}.$

Đặt $\frac{x+y+z}{3}$ = t với t ≥ 1

Xét hàm số f(t) = t⁵- $\frac{3}{2}$ t² + $\frac{1}{2}$ với t ≥ 1 => f'(t)= 5t⁴-3t > 0 ∀ t ≥ 1

=> f'(t) luôn đồng biến ∀ t ≥ 1 => f'(t) ≥ f(1)= 0 => t^5 ≥t²- $\frac{1}{2}$ đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c =1

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.