Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 5 \le 0\\{x^2} - 2\left( {a + 1} \right)x + {a^2}

Câu hỏi số 343044:

Vận dụng cao

Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 5 \le 0\\{x^2} - 2\left( {a + 1} \right)x + {a^2} + 1 \le 0\end{array} \right.\). Để hệ bất phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp của tham số a là :

A. \(0 \le a \le 2\)

B. \(0 \le a \le 4\)

C. \(2 \le a \le 4\)

D. \(0 \le a \le 8\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343044

Phương pháp giải

Xác định tập nghiệm \(\left( {{S_1}} \right),\,\,\left( {{S_2}} \right)\) của 2 bất phương trình, yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \).

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 5 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 2\left( {a + 1} \right)x + {a^2} + 1 \le 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải (1): \({x^2} - 6x + 5 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 5\).

Giải (2) : \(\Delta ' = {\left( {a + 1} \right)^2} - {a^2} - 1 = 2a\).

TH1: \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow a < 0 \Rightarrow \left( 2 \right)\) vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm.

TH2: \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow a = 0\), khi đó bất phương trình trở thành \({x^2} - 2x + 1 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow x = 1\).

\(HPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 5\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).

TH3: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow a > 0\). Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {a + 1} \right)x + {a^2} + 1\).

Giả sử phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \({x_1} < {x_2} \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình (2) là \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\).

Để hệ phương trình có nghiệm:

+) \({x_1} \le 5 \le {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 5} \right)\left( {{x_2} - 5} \right) \le 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 25 \le 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 1 - 5.2\left( {a + 1} \right) + 25 \le 0 \Leftrightarrow {a^2} - 10a + 16 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le a \le 8\).

+) \({x_1} \le 1 \le {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0\).

\( \Leftrightarrow {a^2} + 1 - 2\left( {a + 1} \right) + 1 \le 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2a \le 0 \Leftrightarrow 0 \le a \le 2\).

Kết hợp TH3 lại ta có \(0 < a \le 8\)

Kết hợp các TH và điều kiện ta có \(0 \le a \le 8\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.