Cho hai bất phương trình \({x^2} - m\left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^4} < 0\,\,\left( 1 \right)\) và \({x^2} + 4x + 3 > 0\,\,\left( 2 \right)\). Các giá trị của tham số m sao cho nghiệm của bất phương trình (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2) là:

Câu 343041: Cho hai bất phương trình \({x^2} - m\left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^4} < 0\,\,\left( 1 \right)\) và \({x^2} + 4x + 3 > 0\,\,\left( 2 \right)\). Các giá trị của tham số m sao cho nghiệm của bất phương trình (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2) là:

A. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)

B. \(m \le - 3\)

C. \(m > - 1\) và \(m \ne 0\)

D. \(m \le - 3\) và \(m \ne 0\)

Câu hỏi : 343041

Phương pháp giải:

Xác định tập nghiệm \(\left( {{S_1}} \right),\,\,\left( {{S_2}} \right)\) của 2 bất phương trình, yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {S_1} \subset {S_2}\).

Đáp án : A
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \le - 3\end{array} \right. \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình (2).

Giả sử \({S_1}\) là tập nghiệm của bất phương trình (1), yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {S_1} \subset {S_2}\).

Xét phương trình \({x^2} - m\left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^4} = 0\)

\(\begin{array}{l}{\Delta _1} = {m^2}{\left( {{m^2} + 1} \right)^2} - 4{m^4} = {m^2}\left[ {{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2} - 4{m^2}} \right]\\ = {m^2}\left( {{m^4} + 2{m^2} + 1 - 4{m^2}} \right) = {m^2}\left( {{m^4} - 2{m^2} + 1} \right) = {m^2}{\left( {{m^2} - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\end{array}\)

Do đó phương trình có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{m\left( {{m^2} + 1} \right) + m\left( {{m^2} - 1} \right)}}{2} = {m^3}\\{x_2} = \dfrac{{m\left( {{m^2} + 1} \right) - m\left( {{m^2} - 1} \right)}}{2} = m\end{array} \right.\)

TH1: \({m^3} = m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\).

Với \(m = 0 \Rightarrow \left( 1 \right):\,\,{x^2} < 0\) (vô nghiệm) (ktm)

Với \(m = 1 \Rightarrow \left( 1 \right):\,\,{x^2} - 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} < 0\) (vô nghiệm) (ktm)

Với \(m = - 1 \Rightarrow \left( 1 \right):\,\,{x^2} + 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} < 0\) (vô nghiệm) (ktm)

TH2: \({m^3} < m \Leftrightarrow m\left( {{m^2} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < m < 1\\m < - 1\end{array} \right. \Rightarrow {S_1} = \left( {{m^3};m} \right)\).

Để \({S_1} \subset {S_2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{m^3};m} \right) \subset \left( { - \infty ; - 3} \right]\\\left( {{m^3};m} \right) \subset \left[ { - 1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\{m^3} \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\m \ge - 1\end{array} \right.\).

Kết hợp với \(\left[ \begin{array}{l}0 < m < 1\\m < - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\0 < m < 1\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\).

TH3: \(m < {m^3} \Leftrightarrow m\left( {{m^2} - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 0\\m > 1\end{array} \right. \Rightarrow {S_1} = \left( {m;{m^3}} \right)\).

Để \({S_1} \subset {S_2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {m;{m^3}} \right) \subset \left( { - \infty ; - 3} \right]\\\left( {m;{m^3}} \right) \subset \left[ { - 1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^3} \le - 3\\m \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le \sqrt[3]{{ - 3}}\\m \ge - 1\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 0\\m > 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 0\\m > 1\end{array} \right.\) (**)

Kết hợp (*) và (**) ta được \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây