Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(M\left( {m;0;0} \right),\,\,N\left( {0;n;0} \right),\,\,P\left( {0;0;p}

Câu hỏi số 348605:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(M\left( {m;0;0} \right),\,\,N\left( {0;n;0} \right),\,\,P\left( {0;0;p} \right)\) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn \({m^2} + {n^2} + {p^2} = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

A. \(\dfrac{1}{3}\)

B. \(\sqrt 3 \)

C. \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

D. \(\dfrac{1}{{27}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:348605

Phương pháp giải

+) Viết phương trình dạng đoạn chắn của \(\left( {MNP} \right)\).

+) Tính \(d\left( {O;\left( {MNP} \right)} \right)\).

+) Sử dụng BĐT \(\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) \le 9\).

Giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right):\,\,\dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{n} + \dfrac{z}{p} = 1\).

Ta có: \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {\dfrac{1}{{{m^2}}} + \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{p^2}}}} }}\).

Ta có: \(\left( {\dfrac{1}{{{m^2}}} + \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{p^2}}}} \right)\left( {{m^2} + {n^2} + {p^2}} \right) \le 9 \Leftrightarrow 3\left( {\dfrac{1}{{{m^2}}} + \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{p^2}}}} \right) \le 9 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{m^2}}} + \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{p^2}}} \le 3\).

Vậy \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) \ge \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow m = n = p = 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.