Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\), thỏa mãn

Câu hỏi số 348611:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\), thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + 4f\left( x \right) = 8{x^2} + 4\), \(\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) và \(f\left( 1 \right) = 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(\dfrac{1}{3}\)

B. \(2\)

C. \(\dfrac{4}{3}\)

D. \(\dfrac{{21}}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:348611

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} + \int\limits_0^1 {4f\left( x \right)} = \int\limits_0^1 {\left( {8{x^2} + 4} \right)dx} = \dfrac{{20}}{3}\).

Xét

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {4f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d\left( {4x} \right)} = \left. {f\left( x \right).4x} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {4xf'\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4f\left( 1 \right) - 4\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} = 8 - 4\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} + 8 - 4\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} = \dfrac{{20}}{3}\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} - 4\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} + 4\int\limits_0^1 {{x^2}dx} - 4\int\limits_0^1 {{x^2}dx} = \dfrac{{20}}{3} - 8\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2} - 4xf'\left( x \right) + 4{x^2}} \right]dx} - \dfrac{4}{3} = - \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) - 2x} \right]}^2}dx} = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) - 2x = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {2xdx} = {x^2} + C\end{array}\)

Lại có \(f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 1 \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 1\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \dfrac{4}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.