Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 6\) và \({u_{n + 1}} = \dfrac{1}{9}\left( {u_n^2 -

Câu hỏi số 349865:

Vận dụng cao

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 6\) và \({u_{n + 1}} = \dfrac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right)\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\). Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

I) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm.

II) \(\dfrac{1}{{{u_1} + 4}} = \dfrac{1}{{{u_1} - 5}} - \dfrac{1}{{{u_2} - 5}}\).

III) \(\dfrac{1}{{{u_1} + 4}} + \dfrac{1}{{{u_2} + 4}} + ... + \dfrac{1}{{{u_{2018}} + 4}} = 1 - \dfrac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:349865

Phương pháp giải

Xét tính đúng sai của từng mệnh đề bằng cách sử dụng định nghĩa dãy số tăng, giảm, tính các số hạng đầu của dãy, nhận xét quy luật,…

Giải chi tiết

Mệnh đề \(\left( I \right)\): Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right) - {u_n} = \dfrac{{u_n^2 - 10{u_n} + 25}}{9} = \dfrac{{{{\left( {{u_n} - 5} \right)}^2}}}{9} \ge 0,\forall {u_n}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} \ge {u_n},\forall n\) hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng \( \Rightarrow \left( I \right)\) sai.

Mệnh đề \(\left( {II} \right)\): Ta có: \({u_1} = 6,{u_2} = \dfrac{{55}}{9}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{u_1} + 4}} = \dfrac{1}{{6 + 4}} = \dfrac{1}{{10}}\) và \(\dfrac{1}{{{u_1} - 5}} - \dfrac{1}{{{u_2} - 5}} = \dfrac{1}{{6 - 5}} - \dfrac{1}{{\dfrac{{55}}{9} - 5}} = \dfrac{1}{{10}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{u_1} + 4}} = \dfrac{1}{{{u_1} - 5}} - \dfrac{1}{{{u_2} - 5}}\) hay \(\left( {II} \right)\) đúng.

Mệnh đề \(\left( {III} \right)\): Ta có: \({u_{n + 1}} - 5 = \dfrac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right) - 5 = \dfrac{{u_n^2 - {u_n} - 20}}{9} = \dfrac{{\left( {{u_n} - 5} \right)\left( {{u_n} + 4} \right)}}{9}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{u_{n + 1}} - 5}} = \dfrac{9}{{\left( {{u_n} - 5} \right)\left( {{u_n} + 4} \right)}} = \dfrac{1}{{{u_n} - 5}} - \dfrac{1}{{{u_n} + 4}} \Rightarrow \dfrac{1}{{{u_n} + 4}} = \dfrac{1}{{{u_n} - 5}} - \dfrac{1}{{{u_{n + 1}} - 5}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{u_1} + 4}} + \dfrac{1}{{{u_2} + 4}} + ... + \dfrac{1}{{{u_{2018}} + 4}}\)\( = \dfrac{1}{{{u_1} - 5}} - \dfrac{1}{{{u_2} - 5}} + \dfrac{1}{{{u_2} - 5}} - \dfrac{1}{{{u_3} - 5}} + ... + \dfrac{1}{{{u_{2018}} - 5}} - \dfrac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)

\( = \dfrac{1}{{{u_1} - 5}} - \dfrac{1}{{{u_{2019}} - 5}} = \dfrac{1}{{6 - 5}} - \dfrac{1}{{{u_{2019}} - 5}} = 1 - \dfrac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)

Nên \(\left( {III} \right)\) đúng.

Vậy \(\left( I \right)\) sai và \(\left( {II} \right),\left( {III} \right)\) đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.