Cho tứ diện \(ABCD\) có \(BC = 9,AC = 6\) và \(BD = 3\) (tham khảo hình vẽ). Điểm \(M\) di chuyển trên

Câu hỏi số 349864:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(BC = 9,AC = 6\) và \(BD = 3\) (tham khảo hình vẽ). Điểm \(M\) di chuyển trên cạnh \(BC.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(M,\) song song với \(AC\) và \(BD\) cắt tứ diện theo thiết diện là một tứ giác. Khi \(M\) di chuyển đến vị trí \({M_0}\) để thiết diện đó là một hình thoi, hãy tính tích \({M_0}B.{M_0}C.\)

A. \(\dfrac{{81}}{4}\)

B. \(14\)

C. \(18\)

D. \(20\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:349864

Phương pháp giải

+ Dựng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo mối quan hệ song song với \(AC,BD\)

+ Tìm thiết diện của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp

+ Dựa vào điều kiện hình thoi và định lý Ta-lét để tính toán.

Giải chi tiết

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(MH//AC\left( {H \in AB} \right)\)

Trong \(\left( {BCD} \right)\) kẻ \(ME//DB\left( {E \in DC} \right)\)

Trong \(\left( {ABD} \right)\) kẻ \(HN//AD\left( {N \in AD} \right)\)

Suy ra \(HN//ME\).

Theo định lý Ta-lét ta có : \(\dfrac{{HN}}{{BD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{MC}}{{BC}} = \dfrac{{ME}}{{BD}} \Rightarrow HN = ME\)

Từ đó \(MENH\) là hình bình hành.

Ta có \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {MENH} \right)\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MENH} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MH\\\left( {MENH} \right) \cap \left( {BCD} \right) = ME\\\left( {MENH} \right) \cap \left( {ABD} \right) = NH\\\left( {MENH} \right) \cap \left( {ACD} \right) = NE\end{array} \right.\) nên thiết diện cần tìm là hình bình hành \(MENH\)

Để \(MENH\) là hình thoi thì \(MH = ME\)

+ Giả sử \(MC = a\left( {0 < a < 9} \right) \Rightarrow MB = 9 - a\)

Theo định lý Ta-lét ta có \(\dfrac{{ME}}{{BD}} = \dfrac{{MC}}{{BC}} \Leftrightarrow \dfrac{{ME}}{3} = \dfrac{a}{9} \Leftrightarrow ME = \dfrac{a}{3}\)

Theo định lý Ta-lét ta có \(\dfrac{{MH}}{{AC}} = \dfrac{{BM}}{{BC}} \Leftrightarrow \dfrac{{MH}}{6} = \dfrac{{9 - a}}{9} \Leftrightarrow MH = \dfrac{{18 - 2a}}{3}\)

Mà \(ME = MH \Leftrightarrow \dfrac{a}{3} = \dfrac{{18 - 2a}}{3} \Leftrightarrow a = 18 - 2a \Leftrightarrow a = 6\)

Suy ra \({M_0}C = 6;{M_0}B = 3 \Rightarrow {M_0}B.{M_0}C = 6.3 = 18\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.