Tính tích phân : I = dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 35025:

Tính tích phân :

I = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{sin^{3}x+sin2xcosx+4}{(1+cosx)^{2}}$ dx

A. I = ln2

B. I = 2ln2

C. I = $\frac{14}{3}$

D. I = $\frac{14}{3}$ - 2ln2

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:35025

Giải chi tiết

Viết lại tích phân:

I = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{sin^{3}x+sin2xcosx+4}{(1+cosx)^{2}}. dx$

= $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{sinx(sin^{2}x+2cos^{2}x)+4}{(1+cosx)^{2}}dx$

= $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{sinx(1+cos^{2}x)}{(1+cosx)^{2}}$ .dx+ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{4}{(1+cosx)^{2}}$ .dx = H + K

Tính H = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{sinx(1+cos^{2}x)}{(1+cosx)^{2}}$ .dx. Đặt t = 1 + cos x => dt = -sinxdx

Đổi cận x = 0 → t = 2; x = $\frac{\pi}{2}$ → t = 1

Khi đó H = $\int_{1}^{2}$ $\frac{t^{2}-2t+2}{t^{2}}$ .dt = $\int_{1}^{2}$ (1- $\frac{2}{t}$ + $\frac{2}{t^{2}}$ ).dt = (t - 2ln|t|- $\frac{2}{t}$ ) $|_{1}^{2}$ = 2- 2ln2

Tính K= $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{4}{(1+cosx)^{2}}$ .dx = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{dx}{cos^{4}\frac{x}{2}}$ = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ ( 1 + $tan^{2}$ $\frac{x}{2}$ ) $\frac{dx}{cos^{2}\frac{x}{2}}$

Đặt t = tan $\frac{x}{2}$ → dt = $\frac{1}{2}$ . $\frac{dx}{cos^{2}\frac{x}{2}}$ .Đổi cận: Khi x = 0 → t = 0; x = $\frac{\pi}{2}$ → t = 1

Suy ra K = 2 $\int_{0}^1$ (1 + t²)dt= 2 (t + $\frac{t^{3}}{3}$ ) $|_{0}^{1}$ = $\frac{8}{3}$

Vậy I = H + K = 2 - 2ln2 + $\frac{8}{3}$ = $\frac{14}{3}$ - 2ln2

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.