Cho ba số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x ≥ z. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 35081:

$P=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}$

A. maxP= √ 5

B. maxP= √ 3

C. maxP= √ 2

D. maxP=1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:35081

Giải chi tiết

$P=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{z}{y})^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{x}{z}}}$

Trước hết ta chứng minh BĐT $\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}(*)$ ; với a,b >0, ab ≤ 1

Ta có: $\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \sqrt{2\left ( \frac{1}{1+a^{2}}+ \frac{1}{1+b^{2}}\right )}$

Mặt khác $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\leq \frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow$ (a-b)²(ab-1)≤ 0 luôn đúng với a, b >0, ab ≤ 1

Suy ra BĐT (*) đúng. Đẳng thưc xảy ra khi và chỉ khi a=b

Áp dụng BĐT (*) ta có $P\leq \frac{2}{\sqrt{1+\frac{z}{x}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{z}{x}}}$

Đặt $t=\frac{z}{x}$ , 0<t≤1, $P\leq \frac{2}{\sqrt{1+t}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{t}}}=\frac{\sqrt{t}+2}{\sqrt{t}+1}$

Xét hàm số $f(t)=\frac{\sqrt{t}+2}{\sqrt{t}+1}$ ; 0<t≤1, $f'(t)=\frac{1-2\sqrt{t}}{2\sqrt{t}\sqrt{(t+1)^{3}}}$ ; f'(t)=0 => t $\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}$

Vậy maxP= √ 5 khi $\left\{\begin{matrix} \frac{y}{x}=\frac{z}{y} & \\ t=\frac{1}{4}=\frac{z}{x} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$ x=2y=4z

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.