Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x +

Câu hỏi số 351460:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 3,\,\forall x \in \mathbb{R}\), khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\) bằng

A. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 2}}{8}\)

B. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 8\pi + 8}}{8}\).

C. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 8\pi + 2}}{8}\).

D. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 6\pi + 8}}{8}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351460

Phương pháp giải

Sử dụng \(\int {f'\left( x \right)dx} = f\left( x \right) + C\)

Và các công thức nguyên hàm \(\int {\cos axdx} = \dfrac{1}{a}\sin ax + C;\,\int {\sin axdx} = - \dfrac{1}{a}\cos ax + C;\) \(\int {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\)

Sử dụng \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) với \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Ta có \(\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {2{{\cos }^2}x + 3} \right){\rm{d}}x = } \int {\left( {4 + \cos 2x} \right){\rm{d}}x} \)\( = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4x + C\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4x + C\).

Lại có \(f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4x + 4\).

Vậy \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + 4x + 4} \right)} {\rm{d}}x\)\( = \left. {\left( { - \dfrac{1}{4}{\rm{cos2}}x + 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{{{\pi ^2} + 8\pi + 2}}{8}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.