Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng
Câu 351466: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng
A. \(\dfrac{{\sqrt {21} a}}{{28}}\).
B. \(\dfrac{{\sqrt {21} a}}{{14}}\)
C. \(\dfrac{{\sqrt 2 a}}{2}\).
D. \(\dfrac{{\sqrt {21} a}}{7}\).
Quảng cáo
+ Xác định chiều cao dựa vào \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a \bot d;a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\)
+ Sử dụng: \(\dfrac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{AM}}{{BM}}\) với \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(AB\) với mặt phẳng \(\left( P \right)\)
+ \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = AH\) với \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( P \right)\)
+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow SH \bot AB\) mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Gọi \(O = AC \cap BD\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \cap \left( {SBD} \right) = O\\AO = OC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \cap \left( {SBD} \right) = B\\AB = 2HB\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)\).
Vậy \(\dfrac{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)}} = 2\)
Kẻ \(HM \bot BD\) \(\left( {M \in BD} \right)\), kẻ \(HK \bot SM\) tại \(K\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HM\\BD \bot SH\left( {do\,SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BD \bot HK\)
Lại có \(HK \bot SM \Rightarrow HK \bot \left( {SBD} \right)\) tại \(K\) \( \Rightarrow HK = d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AO \bot BD\) mà \(HM \bot BD \Rightarrow HM//AO\)
Lại có \(H\) là trung điểm \(AB\) nên \(M\) là trung điểm \(BO \Rightarrow HM\) là đường trung bình của tam giác \(ABO \Rightarrow HM = \dfrac{{AO}}{2}\) \( = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Xét tam giác \(SMH\) vuông tại \(H\) , ta có
\(HM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\), \(SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên
\(\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{M^2}}} = \dfrac{{28}}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}} \Rightarrow \)\(d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com