Số nghiệm của phương trình \({\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 + {\cos ^2}\left( {\dfrac{\pi }{2} + x}

Câu hỏi số 353257:

Vận dụng

Số nghiệm của phương trình \({\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 + {\cos ^2}\left( {\dfrac{\pi }{2} + x} \right)\) trên khoảng \(\left( {0;3\pi } \right)\) là :

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353257

Phương pháp giải

- Sử dụng các công thức \(\cos \left( {{\pi \over 2} + x} \right) = - \sin x;\,\,{\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 2x\).

- Phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x =c \). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Giải chi tiết

\(\eqalign{
& {\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 + {\cos ^2}\left( {{\pi \over 2} + x} \right) \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 + {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos 2x - \sin 2x = \sqrt 2 \cr} \)

- Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \).

- Phương trình \( \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\cos 2x - {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x\cos {\pi \over 4} - \sin 2x\sin {\pi \over 4} = 1\).

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = 1 \Leftrightarrow 2x + {\pi \over 4} = k2\pi \Leftrightarrow x = - {\pi \over 8} + k\pi \,\,\left( {k \in Z } \right)\).

Cho \(x \in \left( {0;3\pi } \right)\) ta có: \(0 < - {\pi \over 8} + k\pi < 3\pi \Leftrightarrow {1 \over 8} < k < {{25} \over 8}\,\,\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.