Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \(m\sin x = {\cos ^4}\dfrac{x}{2} - {\sin ^4}\dfrac{x}{2} + 2m

Câu hỏi số 353256:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \(m\sin x = {\cos ^4}\dfrac{x}{2} - {\sin ^4}\dfrac{x}{2} + 2m - 3\) có nghiệm?

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353256

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1;\,\,{\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 2x\).

- Phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Giải chi tiết

\(\eqalign{
& m\sin x = {\cos ^4}{x \over 2} - {\sin ^4}{x \over 2} + 2m - 3 \cr
& \Leftrightarrow m\sin x = \left( {{{\cos }^2}{x \over 2} - {{\sin }^2}{x \over 2}} \right)\left( {{{\cos }^2}{x \over 2} + {{\sin }^2}{x \over 2}} \right) + 2m - 3 \cr
& \Leftrightarrow m\sin x = \cos x + 2m - 3 \Leftrightarrow m\sin x - \cos x = 2m - 3 \cr} \)

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} + {\left( { - 1} \right)^2} \ge {\left( {2m - 3} \right)^2}\).

\( \Leftrightarrow {m^2} + 1 \ge 4{m^2} - 12m + 9 \Leftrightarrow 3{m^2} - 12m + 8 \le 0 \Leftrightarrow {{6 - 2\sqrt 3 } \over 3} \le m \le {{6 + 2\sqrt 3 } \over 3}\).

Kết hợp điều kiện \(m\) nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.